ID: 00004710
На горизонтальный диск проигрывателя пластинок положили два одинаковых маленьких грузика массой m каждый, соединённых между собой горизонтальной нитью, один — в центре, другой — на расстоянии R = 12 см от оси вращения (см. рисунок). Коэффициенты трения грузиков о диск одинаковы и равны μ = 0,4. Диск начали вращать, медленно увеличивая его угловую скорость.
При каком значении частоты ν вращения грузики свалятся с диска? Считайте, что нить невесома, нерастяжима и вначале не была натянута.
Источник: ФИПИ
$R = 0{,}12 \text{ м}$, $\mu = 0{,}4$, $g = 10 \text{ м/с}^2$
$\nu$ — частота вращения, при которой грузики соскользнут
Крайний грузик (на расстоянии $R$) вращается и испытывает центростремительное ускорение. На него действуют сила трения $f_\text{тр}$ (к оси) и натяжение нити $T$ (к оси). Второй закон Ньютона:
$$f_\text{тр} + T = \dfrac{mv^2}{R}$$
Максимальная сила трения: $f_\text{тр} = \mu m g$.
Центральный грузик стоит неподвижно (линейная скорость равна нулю), для него натяжение нити уравновешивается силой трения:
$$T = \mu m g$$
Подставляем в уравнение крайнего грузика:
$$\mu m g + \mu m g = \dfrac{mv^2}{R} \implies v^2 = 2\mu g R$$
$$v = \sqrt{2\mu g R} = \sqrt{2 \cdot 0{,}4 \cdot 10 \cdot 0{,}12} = \sqrt{0{,}96} \approx 0{,}98 \text{ м/с}$$
Частота вращения:
$$\nu = \dfrac{v}{2\pi R} = \dfrac{0{,}98}{2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}12} \approx 1{,}3 \text{ Гц}$$
1,3