ID: 00004710
На горизонтальный диск проигрывателя пластинок положили два одинаковых маленьких грузика массой m каждый, соединённых между собой горизонтальной нитью, один — в центре, другой — на расстоянии R = 12 см от оси вращения (см. рисунок). Коэффициенты трения грузиков о диск одинаковы и равны μ = 0,4. Диск начали вращать, медленно увеличивая его угловую скорость.
При каком значении частоты ν вращения грузики свалятся с диска? Считайте, что нить невесома, нерастяжима и вначале не была натянута.
Источник: ФИПИ
R = 0{,}12 \text{ м}, \mu = 0{,}4, g = 10 \text{ м/с}^2
\nu — частота вращения, при которой грузики соскользнут
Крайний грузик (на расстоянии R) вращается и испытывает центростремительное ускорение. На него действуют сила трения f_\text{тр} (к оси) и натяжение нити T (к оси). Второй закон Ньютона:
f_\text{тр} + T = \dfrac{mv^2}{R}
Максимальная сила трения: f_\text{тр} = \mu m g.
Центральный грузик стоит неподвижно (линейная скорость равна нулю), для него натяжение нити уравновешивается силой трения:
T = \mu m g
Подставляем в уравнение крайнего грузика:
\mu m g + \mu m g = \dfrac{mv^2}{R} \implies v^2 = 2\mu g R
v = \sqrt{2\mu g R} = \sqrt{2 \cdot 0{,}4 \cdot 10 \cdot 0{,}12} = \sqrt{0{,}96} \approx 0{,}98 \text{ м/с}
Частота вращения:
\nu = \dfrac{v}{2\pi R} = \dfrac{0{,}98}{2 \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}12} \approx 1{,}3 \text{ Гц}
1,3