ID: 00004707
Спутник вращается по круговой орбите вокруг некоторой планеты. Вследствие медленного изменения радиуса орбиты в интервале времени от $t_1$ до $t_2$ модуль скорости V спутника изменяется с течением времени t так, как показано на графике (см. рис.).
На основании анализа этого графика выберите все верные утверждения, касающиеся момента времени $t_2$, и укажите их номера.
1) Радиус орбиты спутника уменьшился в 4 раза.
2) Угловая скорость обращения спутника увеличилась в 8 раз.
3) Модуль центростремительного ускорения спутника увеличился в 16 раз.
4) Период обращения спутника увеличился в 2 раза.
5) Модуль силы гравитационного притяжения спутника к планете не изменился.
Источник: ФИПИ
По графику модуль скорости спутника к моменту $t_2$ вырос вдвое: $v_2=2v_1$.
Для круговой орбиты сила тяготения создаёт центростремительное ускорение, поэтому скорость и радиус связаны:
$$\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}\quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{r}},\qquad v\sim\frac{1}{\sqrt{r}}$$
Раз скорость выросла в $2$ раза, радиус уменьшился в $2^2=4$ раза (утверждение 1 — верно).
Угловая скорость:
$$\omega=\frac{v}{r}\quad\Rightarrow\quad \frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{v_2}{v_1}\cdot\frac{r_1}{r_2}=2\cdot4=8$$
угловая скорость выросла в $8$ раз (утверждение 2 — верно).
Центростремительное ускорение:
$$a=\frac{v^2}{r}\quad\Rightarrow\quad \frac{a_2}{a_1}=\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2\cdot\frac{r_1}{r_2}=2^2\cdot4=16$$
ускорение выросло в $16$ раз (утверждение 3 — верно).
Период обращения:
$$T=\frac{2\pi r}{v}\quad\Rightarrow\quad \frac{T_2}{T_1}=\frac{r_2}{r_1}\cdot\frac{v_1}{v_2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$
период уменьшился в $8$ раз, а не вырос вдвое (утверждение 4 — неверно).
Сила тяготения:
$$F=\frac{GMm}{r^2}\quad\Rightarrow\quad \frac{F_2}{F_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=4^2=16$$
сила выросла в $16$ раз (утверждение 5 — неверно).
Верные утверждения: 1, 2 и 3.