ID: 00004235
Однородный тонкий стержень массой m одним концом шарнирно прикреплён к потолку, a другим концом опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол α = 30°. Под действием горизонтальной силы F доска движется поступательно влево с постоянной скоростью (см. рисунок).
Стержень при этом неподвижен. Найдите m, если F = 2 Н, а коэффициент трения стержня по доске μ = 0,2.
Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стержень и доску. Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Источник: ФИПИ
1. Решаем в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй.
2. Стержень — твёрдое тело в равновесии: сумма внешних сил равна нулю, сумма моментов относительно оси через шарнир $O$ равна нулю (стержень не вращается).
3. Доска движется поступательно с постоянной скоростью — её движение описываем вторым законом Ньютона.
4. По третьему закону Ньютона силы взаимодействия доски и стержня равны по модулю и противоположны по направлению.
Доска движется равномерно, поэтому горизонтальные силы уравновешены: $F = F_{тр1}$.
По третьему закону Ньютона $F_{тр2} = F_{тр1} = F$. Доска скользит относительно стержня, поэтому $F_{тр2} = \mu N$, откуда $N = \dfrac{F}{\mu}$.
Стержень не вращается — запишем правило моментов относительно шарнира $O$ ($L$ — длина стержня): $mg\dfrac{L}{2}\cos\alpha - F_{тр2}L\sin\alpha - N L\cos\alpha = 0$.
Подставляя $F_{тр2}=F$ и $N=\dfrac{F}{\mu}$ и сокращая на $L$: $mg\dfrac{1}{2}\cos\alpha = F\sin\alpha + \dfrac{F}{\mu}\cos\alpha$.
Отсюда: $m = \dfrac{2F}{g}\left(\dfrac{1}{\mu} + \operatorname{tg}\alpha\right) = \dfrac{2\cdot2}{10}\left(\dfrac{1}{0{,}2} + \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \approx 2{,}2$ кг.