ID: 00004066
В вертикальном цилиндрическом сосуде C гладкими стенками под подвижным поршнем площадью поперечного сечения 50 см^2 находится разреженный газ (см. рисунок). При движении сосуда по вертикали с ускорением, направленным вверх и равным по модулю 2 м/с^2, высота столба газа под поршнем постоянна и на 5% меньше, чем B покоящемся сосуде. сосуде.
Считая температуру газа под поршнем неизменной, a наружное Давление постоянным и равным 28 кПа, определите массу поршня. Масса газа под поршнем постоянна.
Источник: ФИПИ
1. Решаем в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй. Применяем к поршню второй закон Ньютона как к материальной точке.
2. Газ считаем идеальным; температура постоянна, поэтому применим закон Бойля–Мариотта. Сила трения поршня о стенки сосуда отсутствует (стенки гладкие).
Пусть p_1 и p_2 — давления газа под поршнем в покоящемся и ускоряющемся сосуде, S — площадь поршня, m — его масса, p_0 — внешнее давление.
В покоящемся сосуде поршень неподвижен: (p_1 - p_0)S - mg = 0, отсюда p_1 S = p_0 S + mg.
В сосуде, движущемся вверх с ускорением a, проекция второго закона Ньютона на ось Oy для поршня даёт: (p_2 - p_0)S - mg = ma, отсюда p_2 S = p_0 S + mg + ma.
По закону Бойля–Мариотта p_1 S h_1 = p_2 S h_2, где h_1, h_2 — высоты столба газа. Введём \eta = (h_1 - h_2)/h_1 = 0{,}05. Тогда p_1 = p_2(1 - \eta).
Из этой системы выражаем массу поршня: m = \dfrac{p_0\,\eta\,S}{(1-\eta)a - \eta g}.
Подставим числа (p_0 = 28\cdot10^3 Па, S = 50\cdot10^{-4} м², a = 2 м/с², g = 10 м/с²):
m = \dfrac{28\cdot10^3 \cdot 0{,}05 \cdot 50\cdot10^{-4}}{(1 - 0{,}05)\cdot 2 - 0{,}05\cdot 10} = \dfrac{7}{1{,}4} = 5\ \text{кг}