ID: 00004066
В вертикальном цилиндрическом сосуде C гладкими стенками под подвижным поршнем площадью поперечного сечения 50 $см^2$ находится разреженный газ (см. рисунок). При движении сосуда по вертикали с ускорением, направленным вверх и равным по модулю 2 $м/с^2$, высота столба газа под поршнем постоянна и на 5% меньше, чем B покоящемся сосуде. сосуде.
Считая температуру газа под поршнем неизменной, a наружное Давление постоянным и равным 28 кПа, определите массу поршня. Масса газа под поршнем постоянна.
Источник: ФИПИ
1. Решаем в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй. Применяем к поршню второй закон Ньютона как к материальной точке.
2. Газ считаем идеальным; температура постоянна, поэтому применим закон Бойля–Мариотта. Сила трения поршня о стенки сосуда отсутствует (стенки гладкие).
Пусть $p_1$ и $p_2$ — давления газа под поршнем в покоящемся и ускоряющемся сосуде, $S$ — площадь поршня, $m$ — его масса, $p_0$ — внешнее давление.
В покоящемся сосуде поршень неподвижен: $(p_1 - p_0)S - mg = 0$, отсюда $p_1 S = p_0 S + mg$.
В сосуде, движущемся вверх с ускорением $a$, проекция второго закона Ньютона на ось $Oy$ для поршня даёт: $(p_2 - p_0)S - mg = ma$, отсюда $p_2 S = p_0 S + mg + ma$.
По закону Бойля–Мариотта $p_1 S h_1 = p_2 S h_2$, где $h_1$, $h_2$ — высоты столба газа. Введём $\eta = (h_1 - h_2)/h_1 = 0{,}05$. Тогда $p_1 = p_2(1 - \eta)$.
Из этой системы выражаем массу поршня: $m = \dfrac{p_0\,\eta\,S}{(1-\eta)a - \eta g}$.
Подставим числа ($p_0 = 28\cdot10^3$ Па, $S = 50\cdot10^{-4}$ м², $a = 2$ м/с², $g = 10$ м/с²):
$$m = \dfrac{28\cdot10^3 \cdot 0{,}05 \cdot 50\cdot10^{-4}}{(1 - 0{,}05)\cdot 2 - 0{,}05\cdot 10} = \dfrac{7}{1{,}4} = 5\ \text{кг}$$