ID: 00004040
Закрытый сверху вертикальный цилиндрический сосуд, заполненный воздухом, разделён тяжёлым поршнем, способным скользить без трения, на две части. В начальном равновесном состоянии в верхней и нижней частях сосуда находилось по v = 1 моль воздуха, а отношение объёмов верхней и нижней частей сосуда было равно 2. После того как из верхней части сосуда удалили некоторое количество воздуха Δv, через длительный промежуток времени установилось новое состояние равновесия с отношением объёмов верхней и нижней частей сосуда, равным 2:3. Температура воздуха Т в обеих частях сосуда всё время поддерживалась одинаковой и постоянной. Определите, какое количество воздуха было удалено из сосуда.
Источник: ФИПИ
Тяжёлый поршень делит закрытый сосуд на две части — верхнюю и нижнюю. Поршень давит вниз своим весом, поэтому в нижней части давление всегда больше, чем в верхней, ровно на $\dfrac{Mg}{S}$. Когда из верхней части откачивают часть воздуха, поршень сдвигается, и объёмы перераспределяются. По уравнению состояния и условию равновесия поршня найдём, сколько воздуха убрали.
Начальное состояние. Пусть $V$ — объём всего сосуда. По условию объёмы относятся как $2:1$, поэтому $V_1=\dfrac{2V}{3}$ (верх), $V_2=\dfrac{V}{3}$ (низ), в каждой части по $\nu=1$ моль. Равновесие поршня: $p_2-p_1=\dfrac{Mg}{S}$.
Конечное состояние. После откачки отношение объёмов стало $2:3$, то есть $V_1'=\dfrac{2V}{5}$, $V_2'=\dfrac{3V}{5}$; в верхней части осталось $(\nu-\Delta\nu)$ моль, в нижней — те же $\nu$. Условие равновесия поршня то же: $p_2'-p_1'=\dfrac{Mg}{S}$ (вес поршня не изменился).
Найдём $\Delta\nu$. Записав уравнения состояния для всех четырёх состояний и приравняв разности давлений (через $\dfrac{Mg}{S}$), после упрощения получаем $\Delta\nu=\dfrac{14\nu}{15}=\dfrac{14\cdot1}{15}\approx0{,}93$ моль.
Δν ≈ 0,93 моль