ID: 00004040
Закрытый сверху вертикальный цилиндрический сосуд, заполненный воздухом, разделён тяжёлым поршнем, способным скользить без трения, на две части. В начальном равновесном состоянии в верхней и нижней частях сосуда находилось по v = 1 моль воздуха, а отношение объёмов верхней и нижней частей сосуда было равно 2. После того как из верхней части сосуда удалили некоторое количество воздуха Δv, через длительный промежуток времени установилось новое состояние равновесия с отношением объёмов верхней и нижней частей сосуда, равным 2:3. Температура воздуха Т в обеих частях сосуда всё время поддерживалась одинаковой и постоянной. Определите, какое количество воздуха было удалено из сосуда.
Источник: ФИПИ
Тяжёлый поршень делит закрытый сосуд на две части — верхнюю и нижнюю. Поршень давит вниз своим весом, поэтому в нижней части давление всегда больше, чем в верхней, ровно на \dfrac{Mg}{S}. Когда из верхней части откачивают часть воздуха, поршень сдвигается, и объёмы перераспределяются. По уравнению состояния и условию равновесия поршня найдём, сколько воздуха убрали.
Начальное состояние. Пусть V — объём всего сосуда. По условию объёмы относятся как 2:1, поэтому V_1=\dfrac{2V}{3} (верх), V_2=\dfrac{V}{3} (низ), в каждой части по \nu=1 моль. Равновесие поршня: p_2-p_1=\dfrac{Mg}{S}.
Конечное состояние. После откачки отношение объёмов стало 2:3, то есть V_1'=\dfrac{2V}{5}, V_2'=\dfrac{3V}{5}; в верхней части осталось (\nu-\Delta\nu) моль, в нижней — те же \nu. Условие равновесия поршня то же: p_2'-p_1'=\dfrac{Mg}{S} (вес поршня не изменился).
Найдём \Delta\nu. Записав уравнения состояния для всех четырёх состояний и приравняв разности давлений (через \dfrac{Mg}{S}), после упрощения получаем \Delta\nu=\dfrac{14\nu}{15}=\dfrac{14\cdot1}{15}\approx0{,}93 моль.
Δν ≈ 0,93 моль