ID: 00003781
Палка, наполовину погружённая в вертикальном положении в воду, отбрасывает на дно бассейна тень длиной l = 0,5 м. Определите длину выступающей над водой части палки, если глубина воды равна h = 3 м, а угол падения солнечных лучей равен α = 30°. (Показатель преломления воды — 4/3.)
Источник: ФИПИ
$l = 0{,}5 \text{ м}$ (длина тени на дне)
$h = 3 \text{ м}$ (глубина воды)
$\alpha = 30°$ (угол падения)
$n_\text{вода} = \dfrac{4}{3}$
$\frac{L}{2}$ — длина выступающей части — ?
Находим угол преломления $\beta$ из закона Снеллиуса:
$$n_1 \sin\alpha = n_\text{вода} \sin\beta$$
$$1 \cdot \sin 30° = \frac{4}{3} \cdot \sin\beta$$
$$\sin\beta = \frac{0{,}5}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{8} = 0{,}375 \implies \beta \approx 22°$$
Обозначим горизонтальные составляющие от двух крайних лучей, формирующих тень: $A$ (от верхнего конца палки) и $B$ (от уровня воды). Из геометрии прямоугольных треугольников:
$$\tan\alpha = \frac{A}{\frac{L}{2}}, \quad \tan\beta = \frac{B}{\frac{L}{2}}$$
Суммарная тень: $A + B = l = 0{,}5 \text{ м}$
Из первого уравнения: $A = \dfrac{L}{2}\tan\alpha$
Подставляем во второе:
$$B\left(\frac{\tan\alpha}{\tan\beta} + 1\right) = l$$
$$B = \frac{l}{\frac{{\tan\alpha}}{{\tan\beta}} + 1} = \frac{0{,}5}{\frac{\tan 30°}{\tan 22°} + 1} \approx 0{,}21 \text{ м}$$
Длина выступающей части:
$$\frac{L}{2} = \frac{B}{\tan\beta} = \frac{0{,}21}{\tan 22°} \approx \frac{0{,}21}{0{,}404} \approx 0{,}51 \text{ м}$$
0,51