Дано:

l = 0{,}5 \text{ м} (длина тени на дне)

h = 3 \text{ м} (глубина воды)

\alpha = 30° (угол падения)

n_\text{вода} = \dfrac{4}{3}

Найти:

\frac{L}{2} — длина выступающей части — ?

Решение:

Находим угол преломления \beta из закона Снеллиуса:

n_1 \sin\alpha = n_\text{вода} \sin\beta

1 \cdot \sin 30° = \frac{4}{3} \cdot \sin\beta

\sin\beta = \frac{0{,}5}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{8} = 0{,}375 \implies \beta \approx 22°

Обозначим горизонтальные составляющие от двух крайних лучей, формирующих тень: A (от верхнего конца палки) и B (от уровня воды). Из геометрии прямоугольных треугольников:

\tan\alpha = \frac{A}{\frac{L}{2}}, \quad \tan\beta = \frac{B}{\frac{L}{2}}

Суммарная тень: A + B = l = 0{,}5 \text{ м}

Из первого уравнения: A = \dfrac{L}{2}\tan\alpha

Подставляем во второе:

B\left(\frac{\tan\alpha}{\tan\beta} + 1\right) = l

B = \frac{l}{\frac{{\tan\alpha}}{{\tan\beta}} + 1} = \frac{0{,}5}{\frac{\tan 30°}{\tan 22°} + 1} \approx 0{,}21 \text{ м}

Длина выступающей части:

\frac{L}{2} = \frac{B}{\tan\beta} = \frac{0{,}21}{\tan 22°} \approx \frac{0{,}21}{0{,}404} \approx 0{,}51 \text{ м}