Решение
Дано:
$H = 3 \text{ м}, \quad \alpha = 30°, \quad x = 0{,}8 \text{ м}, \quad n = 4/3$
Найти:
$h$ — высота сваи
Решение:
Луч преломляется на границе воды. По закону Снеллиуса:
$$\sin \alpha = n \cdot \sin \beta$$
$$\sin \beta = \frac{\sin 30°}{4/3} = \frac{0{,}5}{4/3} = \frac{3}{8} = 0{,}375$$
$$\beta = \arcsin(0{,}375) \approx 22°$$
В воде луч идёт под углом $\beta$ к нормали. Рассмотрим большой прямоугольный треугольник: луч проходит через верхушку сваи и падает на конец тени.
Горизонтальный катет этого треугольника: $x + K$, вертикальный катет: $H$ (глубина водоёма). Тогда:
$$\tan \beta = \frac{x + K}{H} \implies x + K = H \cdot \tan \beta = 3 \cdot \tan 22° \approx 3 \cdot 0{,}404 \approx 1{,}21 \text{ м}$$
Малый треугольник (от верхушки сваи до дна под прямым углом): вертикальный катет $h$, горизонтальный катет $K$. Из подобия треугольников:
$$\frac{x + K}{H} = \frac{x}{H - h} \implies \frac{0{,}8}{H - h} = \frac{1{,}21}{3}$$
$$H - h = \frac{0{,}8 \cdot 3}{1{,}21} \approx \frac{2{,}4}{1{,}21} \approx 1{,}98 \approx 2{,}0$$
$$h = H - (H - h) = 3 - 1 = 2 \text{ м}$$
Высота сваи $h = 2 \text{ м}$.