ID: 00003741
Прямоугольный треугольник расположен перед собирающей линзой с фокусным расстоянием F = 20 см, как показано на рисунке. Катет треугольника, расположенный на главной оптической оси, имеет длину с = 2 см, а его гипотенуза составляет угол α = 60° с главной оптической осью линзы. Определите тангенс угла, который составляет с главной оптической осью линзы гипотенуза даваемого линзой изображения этого треугольника. Постройте изображение треугольника в линзе. Ответ округлите до сотых.
Источник: ФИПИ
Дано: $F=20$ см, катет на оси $c=2$ см, гипотенуза под углом $\alpha=60°$ к оси.
Построим изображение. Вертикальный катет высотой $h$ стоит на расстоянии $2F$ от линзы, поэтому его изображение получается тоже на расстоянии $2F$ с другой стороны и той же высоты $h$ (увеличение по модулю равно 1).
Второй конец гипотенузы (вершина острого угла) смещён вдоль оси. Из подобия треугольников при построении изображения это смещение равно $d=\dfrac{cF}{F-c}$.
Тогда тангенс угла, который гипотенуза изображения образует с осью:
$$\tan\beta=\frac{h}{d}=\frac{h(F-c)}{cF}=\left(1-\frac{c}{F}\right)\tan\alpha,$$
поскольку $\dfrac{h}{c}=\tan\alpha$ для исходного треугольника. Подставим числа:
$$\tan\beta=\left(1-\frac{2}{20}\right)\tan60°=0{,}9\cdot\sqrt{3}\approx1{,}56.$$
1,56