ID: 00003741
Прямоугольный треугольник расположен перед собирающей линзой с фокусным расстоянием F = 20 см, как показано на рисунке. Катет треугольника, расположенный на главной оптической оси, имеет длину с = 2 см, а его гипотенуза составляет угол α = 60° с главной оптической осью линзы. Определите тангенс угла, который составляет с главной оптической осью линзы гипотенуза даваемого линзой изображения этого треугольника. Постройте изображение треугольника в линзе. Ответ округлите до сотых.
Источник: ФИПИ
Дано: F=20 см, катет на оси c=2 см, гипотенуза под углом \alpha=60° к оси.
Построим изображение. Вертикальный катет высотой h стоит на расстоянии 2F от линзы, поэтому его изображение получается тоже на расстоянии 2F с другой стороны и той же высоты h (увеличение по модулю равно 1).
Второй конец гипотенузы (вершина острого угла) смещён вдоль оси. Из подобия треугольников при построении изображения это смещение равно d=\dfrac{cF}{F-c}.
Тогда тангенс угла, который гипотенуза изображения образует с осью:
\tan\beta=\frac{h}{d}=\frac{h(F-c)}{cF}=\left(1-\frac{c}{F}\right)\tan\alpha,
поскольку \dfrac{h}{c}=\tan\alpha для исходного треугольника. Подставим числа:
\tan\beta=\left(1-\frac{2}{20}\right)\tan60°=0{,}9\cdot\sqrt{3}\approx1{,}56.
1,56