ID: 00003474
В центр верхней грани прозрачного кубика под углом α = 45° падает из воздуха луч света (см. рис.). Плоскость падения луча параллельна плоскости передней грани кубика (АВСD). Преломлённый луч попадает в ребро АЕ кубика. Определите показатель преломления материала, из которого изготовлен кубик. Ответ округлите до сотых долей.
Источник: ФИПИ
$\alpha = 45°$ — угол падения луча на верхнюю грань; луч попадает точно в нижнее ребро передней грани; сторона куба — $a$.
показатель преломления $n$.
Запишем закон Снеллиуса для перехода воздух → кубик:
$$\sin\alpha = n \cdot \sin\beta \quad \Rightarrow \quad n = \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$$
Найдём угол преломления $\beta$ из геометрии задачи. Луч входит в центр верхней грани и выходит в нижнее ребро передней грани. Центр верхней грани находится на расстоянии $\frac{a}{2}$ от передней грани по горизонтали и на расстоянии $a$ по вертикали.
Следовательно, тангенс угла $\beta$ (угол между преломлённым лучом внутри кубика и вертикалью):
$$\operatorname{tg}\beta = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2} = 0{,}5$$
Из этого:
$$\beta = \arctan(0{,}5) \approx 26{,}57°$$
Подставляем:
$$n = \frac{\sin 45°}{\sin 26{,}57°} = \frac{0{,}7071}{0{,}4472} \approx 1{,}58$$
$$n \approx 1{,}58$$