Электрические… — Задание 25 ЕГЭ по физике №00003112

Дано:

внутреннее сопротивление источника $r = 2\text{ Ом}$; сопротивление реостата изменяется от $R_{\min} = 1\text{ Ом}$ до $R_{\max} = 5\text{ Ом}$; максимальная тепловая мощность на реостате $P_{\max} = 4{,}5\text{ Вт}$.

Найти:

ЭДС источника $\varepsilon$.

Решение:

Шаг 1. Тепловая мощность реостата как функция тока.

По закону Ома сила тока в цепи: $I = \dfrac{\varepsilon}{R + r}$.

Напряжение на реостате: $U_R = \varepsilon - I r = \varepsilon - \dfrac{\varepsilon r}{R + r} = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}$.

Мощность на реостате:

$$P = I \cdot U_R = \frac{\varepsilon}{R+r} \cdot \frac{\varepsilon R}{R+r} = \frac{\varepsilon^2 R}{(R+r)^2}$$

Шаг 2. Нахождение $R$, при котором $P$ максимальна.

Выразим $P$ как функцию $I$: $P(I) = I(\varepsilon - Ir) = \varepsilon I - r I^2$.

Берём производную и приравниваем к нулю:

$$\frac{dP}{dI} = \varepsilon - 2rI = 0 \implies I_0 = \frac{\varepsilon}{2r}$$

Это соответствует $R_0 = r = 2\text{ Ом}$. Поскольку $R_{\min} = 1\text{ Ом} \lt r \lt R_{\max} = 5\text{ Ом}$, значение $R_0 = r$ достигается, и максимум мощности:

$$P_{\max} = \frac{\varepsilon^2}{4r}$$

Шаг 3. Нахождение ЭДС.

$$\varepsilon = \sqrt{4 r P_{\max}} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot 4{,}5} = \sqrt{36} = 6\text{ В}$$