Дано:

внутреннее сопротивление источника r = 2\text{ Ом}; сопротивление реостата изменяется от R_{\min} = 1\text{ Ом} до R_{\max} = 5\text{ Ом}; максимальная тепловая мощность на реостате P_{\max} = 4{,}5\text{ Вт}.

Найти:

ЭДС источника \varepsilon.

Решение:

Шаг 1. Тепловая мощность реостата как функция тока.

По закону Ома сила тока в цепи: I = \dfrac{\varepsilon}{R + r}.

Напряжение на реостате: U_R = \varepsilon - I r = \varepsilon - \dfrac{\varepsilon r}{R + r} = \dfrac{\varepsilon R}{R + r}.

Мощность на реостате:

P = I \cdot U_R = \frac{\varepsilon}{R+r} \cdot \frac{\varepsilon R}{R+r} = \frac{\varepsilon^2 R}{(R+r)^2}

Шаг 2. Нахождение R, при котором P максимальна.

Выразим P как функцию I: P(I) = I(\varepsilon - Ir) = \varepsilon I - r I^2.

Берём производную и приравниваем к нулю:

\frac{dP}{dI} = \varepsilon - 2rI = 0 \implies I_0 = \frac{\varepsilon}{2r}

Это соответствует R_0 = r = 2\text{ Ом}. Поскольку R_{\min} = 1\text{ Ом} \lt r \lt R_{\max} = 5\text{ Ом}, значение R_0 = r достигается, и максимум мощности:

P_{\max} = \frac{\varepsilon^2}{4r}

Шаг 3. Нахождение ЭДС.

\varepsilon = \sqrt{4 r P_{\max}} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot 4{,}5} = \sqrt{36} = 6\text{ В}