ID: 00002986
Маленький незаряженный шарик, подвешенный на непроводящей нити, помещён над горизонтальной диэлектрической пластиной, равномерно заряженной положительным зарядом. Размеры пластины во много раз превышают длину нити. Опираясь на законы механики и электродинамики, объясните, как изменится период малых свободных колебаний шарика, если ему сообщить отрицательный заряд.
Источник: ФИПИ
шарик массой $m$ на нити длиной $L$; пластина создаёт однородное поле $E$, направленное вверх; шарику сообщают заряд $q \lt 0$
Заряженная пластина бесконечных размеров создаёт однородное электрическое поле, вектор напряжённости которого направлен вверх (от положительных зарядов).
Когда шарик незаряжен, период малых колебаний определяется только силой тяжести:
$$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.$$
После сообщения заряда $q \lt 0$ на шарик действует электрическая сила $\vec{F} = q\vec{E}$. Поскольку $q \lt 0$, а $\vec{E}$ направлен вверх, сила $\vec{F}$ направлена вниз — в ту же сторону, что и сила тяжести.
Уравнение движения вдоль нити (второй закон Ньютона):
$$mg + |q|E = ma_{\text{эфф}},$$
откуда эффективное ускорение:
$$g_{\text{эфф}} = g + \frac{|q|E}{m} \gt g.$$
Период колебаний с зарядом:
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{\text{эфф}}}} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g + \frac{|q|E}{m}}}.$$
Так как $g_{\text{эфф}} \gt g$, то $T \lt T_0$ — период уменьшается.
1. Колеблющийся шарик на нити можно считать при малых колебаниях математическим маятником. Первоначально, когда шарик не заряжен, электрическое поле пластины не оказывает влияния на колебательное движение, колебания происходят только за счёт периодически изменяющейся касательной составляющей силы тяжести. Поэтому период свободных колебаний зависит только от длины нити l и ускорения свободного падения $g \left( T_1 = 2\pi \sqrt{l/g} \right)$
2. Протяжённая равномерно заряженная пластина создаёт однородное электрическое поле Е. Если шарику сообщить отрицательный заряд, то со стороны электрического поля пластины на него начнёт действовать постоянная сила Кулона, равная по величине Fк = E|q| и направленная вертикально вниз (см. рисунок).
2. Протяжённая равномерно заряженная пластина создаёт однородное электрическое поле Е. Если шарику сообщить отрицательный заряд, то со стороны электрического поля пластины на него начнёт действовать постоянная сила Кулона, равная по величине Fк = E|q| и направленная вертикально вниз (см. рисунок).
3. В этом случае равнодействующая сил тяжести и Кулона, которая будет определять период свободных колебаний маятника, равна по модулю mg + |q|E > mg. Возвращающая сила, действующая на шарик (касательная составляющая силы mg + qE), увеличится, шарик будет быстрее возвращаться к положению равновесия, а значит, период свободных колебаний маятника уменьшится ($(T2 = 2\pi \cdot \sqrt{l/a} = 2\pi \sqrt{l/g + Eq/m})$, т. е. $T_{2}$ < $T_{1}$).