ID: 00002910
Плоский воздушный конденсатор, изготовленный из двух одинаковых квадратных металлических пластин, обладает электрической ёмкостью 96 пФ. Каждую из пластин разрезали пополам вдоль стороны квадрата, собрали из получившихся прямоугольников два конденсатора и соединили их последовательно. Расстояние между пластинами конденсаторов оставили прежним. Определите электрическую ёмкость получившейся системы конденсаторов. Ответ дайте в пФ
Источник: ФИПИ
$C_0 = 96$ пФ (плоский воздушный конденсатор, квадратные пластины)
каждую пластину разрезали пополам вдоль стороны
два новых конденсатора соединили последовательно
$C_{\text{total}}$ — ёмкость получившейся системы
Ёмкость плоского конденсатора зависит от площади пластин: чем больше «нахлёст» пластин, тем больше зарядов на них помещается. У исходного конденсатора с квадратной пластиной стороной $a$:
$$C_0 = \frac{\varepsilon_0 a^2}{d}.$$
Разрезали пластину пополам — площадь стала вдвое меньше, значит и ёмкость каждого нового конденсатора уменьшилась в два раза:
$$C_1 = \frac{\varepsilon_0 \cdot a \cdot \frac{a}{2}}{d} = \frac{C_0}{2}.$$
Теперь два таких конденсатора соединили последовательно. При последовательном соединении складываются обратные ёмкости (как сопротивления наоборот):
$$\frac{1}{C_{\text{total}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_1} = \frac{2}{C_1}.$$
Значит, общая ёмкость вдвое меньше каждой, то есть вчетверо меньше исходной:
$$C_{\text{total}} = \frac{C_1}{2} = \frac{C_0}{4} = \frac{96}{4} = 24 \text{ пФ}.$$