ID: 00002788
В вертикальном цилиндре с гладкими стенками, открытом сверху, под тяжёлым поршнем с площадью основания S находится одноатомный идеальный газ. В первоначальном состоянии поршень покоится на высоте h, опираясь на выступы на внутренней стороне стенок цилиндра (см. рисунок a). Давление газа p_{0} равно внешнему атмосферному. Газу сообщили количество теплоты Q, и в результате медленного расширения газа нижняя сторона поршня оказалась на высоте Н (см. рисунок б). Чему равна масса поршня М? Тепловыми потерями пренебречь.
Источник: ФИПИ
вертикальный цилиндр, открыт сверху, площадь поршня S
одноатомный идеальный газ, начальная высота h, давление p_0 (атмосферное)
сообщили теплоту Q, поршень поднялся до высоты H
M — масса поршня — ?
Сначала поршень лежит на выступах, давление газа равно атмосферному p_0. При нагреве газ сначала повышает давление при постоянном объёме, пока не оторвёт поршень от выступов; для этого давление должно вырасти до
p_1 = p_0 + \frac{Mg}{S}.
Дальше поршень поднимается при постоянном давлении p_1 от высоты h до H. Работа газа совершается только на этом изобарном участке:
A = p_1\, S\,(H - h) = \left(p_0 S + Mg\right)(H - h).
Для одноатомного газа \Delta U = \dfrac{3}{2}\,\Delta(pV), где pV меняется от p_0 S h до p_1 S H = (p_0 S + Mg)H:
\Delta U = \frac{3}{2}\bigl[(p_0 S + Mg)H - p_0 S h\bigr].
Первое начало термодинамики Q = \Delta U + A после раскрытия скобок приводится к виду:
Q = \frac{5}{2}\,p_0 S\,(H - h) + Mg\left(\frac{3}{2}h + \frac{5}{2}(H - h)\right).
Отсюда масса поршня:
M = \frac{Q - \dfrac{5}{2}\,p_0 S\,(H - h)}{g\left(\dfrac{3}{2}h + \dfrac{5}{2}(H - h)\right)}.
M = \frac{Q - \frac{5}{2}p_0 S(H-h)}{g(\frac{3}{2}h + \frac{5}{2}(H-h))}