ID: 00002787
В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной с жёсткостью k. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра было равно L, а давление газа в цилиндре было равно внешнему атмосферному давлению $р_{0}$ (см. рисунок).
Затем газу было передано количество теплоты Q, и в результате поршень медленно переместился вправо на расстояние b. Чему равна площадь поршня S?
Источник: ФИПИ
Поршень в горизонтальном цилиндре соединён пружиной с основанием. Сначала газ давит как атмосфера, поэтому пружина не деформирована. Когда газу дают тепло, он толкает поршень, тот сдвигается и растягивает пружину. Подведённое тепло идёт на три вещи: рост внутренней энергии газа, работу против атмосферы и растяжение пружины. Из энергетического баланса найдём площадь поршня.
Давление после нагрева. Поршень сдвинулся на $b$, пружина натянулась силой $kb$, которая тянет поршень назад. Новое равновесие: $pS=p_0S+kb$, то есть $p=p_0+\dfrac{kb}{S}$.
Запишем первый закон термодинамики. Работа газа $A=p_0Sb+\dfrac{kb^2}{2}$ (толкнул атмосферу плюс запас в пружине). Изменение внутренней энергии $\Delta U=\dfrac{3}{2}\big(pS(L+b)-p_0SL\big)=\dfrac{3}{2}\big(p_0Sb+kbL+kb^2\big)$. Подставляя в $Q=\Delta U+A$ и приводя подобные: $Q=\dfrac{5}{2}p_0Sb+\dfrac{3}{2}kbL+2kb^2$.
Выразим площадь. $S=\dfrac{Q-\dfrac{3}{2}kbL-2kb^2}{\dfrac{5}{2}p_0b}$.
$S = \frac{Q - \frac{3}{2}kbL - 2kb^2}{\frac{5}{2}p_0 b}$