Дано:

одноатомный идеальный газ
цикл: 1\to2 изобара (нагрев), 2\to3 изохора (охлаждение), 3\to1 адиабата (сжатие)
\dfrac{A_{12}}{A'_{31}} = 2

Найти:

\eta — КПД цикла

Решение:

КПД показывает, какая доля подведённого тепла превратилась в полезную работу — как доля топлива, реально пошедшая на движение, а не «вылетевшая в трубу». Значит, нужны две вещи: полезная работа за цикл и подведённое тепло.

Полезная работа за цикл — это работа газа на расширении минус работа, которую газ «возвращает» на сжатии. Газ расширяется на изобаре 1\to2 (работа A_{12}), а сжимают его на адиабате 3\to1 (над газом совершают работу A'_{31}). По условию A_{12}=2A'_{31}, поэтому работа сжатия вдвое меньше работы расширения:

A_{\text{ц}} = A_{12} - A'_{31} = A_{12} - \frac{A_{12}}{2} = \frac{A_{12}}{2}.

Теперь тепло. Газ получает тепло только там, где он нагревается, — на изобаре 1\to2 (на изохоре он охлаждается и тепло отдаёт, на адиабате обмена теплом нет вовсе). По первому началу термодинамики на изобаре часть тепла идёт на нагрев, часть — на работу:

Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{3}{2}\nu R\Delta T + \nu R\Delta T = \frac{5}{2}\nu R\Delta T.

А работа газа на изобаре как раз равна A_{12}=\nu R\Delta T (потому что p\Delta V=\nu R\Delta T). Значит, подведённое тепло удобно выразить прямо через A_{12}:

Q_{\text{нагр}} = Q_{12} = \frac{5}{2}A_{12}.

Осталось поделить полезную работу на подведённое тепло:

\eta = \frac{A_{\text{ц}}}{Q_{\text{нагр}}} = \frac{A_{12}/2}{\tfrac{5}{2}A_{12}} = \frac{1}{5} = 0{,}2.

КПД этой машины равен 0{,}2, то есть 20\,\%.