ID: 00002785
Над одноатомным идеальным газом проводится циклический процесс, показанный на рисунке, где 1−2 изобарное расширение, 2−3 изохорное охлаждение, 3−1 адиабатное сжатие. Отношение работы газа в процессе 1–2 к модулю работы, совершенной над газом в процессе 3–1, равно 2. Определите КПД тепловой машины. Масса газа в ходе цикла не изменялась.
Источник: Основная волна ЕГЭ 2026 (Сибирь)
одноатомный идеальный газ
цикл: $1\to2$ изобара (нагрев), $2\to3$ изохора (охлаждение), $3\to1$ адиабата (сжатие)
$\dfrac{A_{12}}{A'_{31}} = 2$
$\eta$ — КПД цикла
КПД показывает, какая доля подведённого тепла превратилась в полезную работу — как доля топлива, реально пошедшая на движение, а не «вылетевшая в трубу». Значит, нужны две вещи: полезная работа за цикл и подведённое тепло.
Полезная работа за цикл — это работа газа на расширении минус работа, которую газ «возвращает» на сжатии. Газ расширяется на изобаре $1\to2$ (работа $A_{12}$), а сжимают его на адиабате $3\to1$ (над газом совершают работу $A'_{31}$). По условию $A_{12}=2A'_{31}$, поэтому работа сжатия вдвое меньше работы расширения:
$$A_{\text{ц}} = A_{12} - A'_{31} = A_{12} - \frac{A_{12}}{2} = \frac{A_{12}}{2}.$$
Теперь тепло. Газ получает тепло только там, где он нагревается, — на изобаре $1\to2$ (на изохоре он охлаждается и тепло отдаёт, на адиабате обмена теплом нет вовсе). По первому началу термодинамики на изобаре часть тепла идёт на нагрев, часть — на работу:
$$Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{3}{2}\nu R\Delta T + \nu R\Delta T = \frac{5}{2}\nu R\Delta T.$$
А работа газа на изобаре как раз равна $A_{12}=\nu R\Delta T$ (потому что $p\Delta V=\nu R\Delta T$). Значит, подведённое тепло удобно выразить прямо через $A_{12}$:
$$Q_{\text{нагр}} = Q_{12} = \frac{5}{2}A_{12}.$$
Осталось поделить полезную работу на подведённое тепло:
$$\eta = \frac{A_{\text{ц}}}{Q_{\text{нагр}}} = \frac{A_{12}/2}{\tfrac{5}{2}A_{12}} = \frac{1}{5} = 0{,}2.$$
КПД этой машины равен $0{,}2$, то есть $20\,\%$.
20%