ID: 00002749
Два сосуда объёмами 20 л и 30 л, соединённые трубкой с краном, содержат влажный воздух при комнатной температуре. Относительная влажность в сосудах равна соответственно 30% и 40%. Если кран открыть, то какой будет относительная влажность воздуха в сосудах после установления теплового равновесия, считая температуру постоянной?
Источник: ФИПИ
$V_1 = 2V$, $V_2 = 3V$ (где $V = 10\text{ л}$), $\varphi_1 = 0{,}3$, $\varphi_2 = 0{,}4$, $T = \text{const}$
$\varphi$ после открытия крана
Давление водяного пара связано с относительной влажностью:
$$\varphi = \frac{p}{p_{\text{нас}}}$$
Так как температура постоянна, давление насыщенного пара $p_{\text{нас}} = \text{const}$ в обоих сосудах одинаково.
Из определений: $p_1 = \varphi_1 p_{\text{нас}} = 0{,}3\,p_{\text{нас}}$ и $p_2 = \varphi_2 p_{\text{нас}} = 0{,}4\,p_{\text{нас}}$.
После открытия крана суммируем уравнения состояния идеального газа для водяного пара (при $T = \text{const}$):
$$p_1 \cdot 2V + p_2 \cdot 3V = p \cdot 5V$$
Сокращаем на $V$:
$$2p_1 + 3p_2 = 5p$$
$$p = \frac{2p_1 + 3p_2}{5} = 0{,}4\,p_1 + 0{,}6\,p_2$$
Подставляем:
$$p = 0{,}4 \cdot 0{,}3\,p_{\text{нас}} + 0{,}6 \cdot 0{,}4\,p_{\text{нас}} = (0{,}12 + 0{,}24)\,p_{\text{нас}} = 0{,}36\,p_{\text{нас}}$$
Итоговая относительная влажность:
$$\varphi = \frac{p}{p_{\text{нас}}} = 0{,}36 = 36\%$$
36