Решение
Дано:
\nu_{\text{в}} = \nu_{\text{н}} = 1\,\text{моль}, V_{\text{в}}/V_{\text{н}} = 2, V'_{\text{в}}/V'_{\text{н}} = 3, T = \text{const}
Найти:
\Delta\nu
Решение:
Запишем условие равновесия поршня (ось x вверх):
p_{\text{н}} S = mg + p_{\text{в}} S \implies p_{\text{н}} - p_{\text{в}} = \frac{mg}{S}.
Это соотношение одинаково в обоих состояниях, значит:
p_{\text{н}} - p_{\text{в}} = p'_{\text{н}} - p'_{\text{в}} = \frac{mg}{S}.
Обозначим полный объём сосуда V. Из условий на отношения объёмов:
*Состояние 1:* V_{\text{н}} + V_{\text{в}} = V, V_{\text{в}} = 2 V_{\text{н}}, значит V_{\text{н}} = \dfrac{V}{3}, V_{\text{в}} = \dfrac{2V}{3}.
*Состояние 2:* V'_{\text{н}} + V'_{\text{в}} = V, V'_{\text{в}} = 3 V'_{\text{н}}, значит V'_{\text{н}} = \dfrac{V}{4}, V'_{\text{в}} = \dfrac{3V}{4}.
Из уравнения Менделеева–Клапейрона (T = \text{const}):
p = \frac{\nu RT}{V_{\text{объём}}}.
Подставляем в условие равновесия:
\frac{\nu_{\text{н}} RT}{V_{\text{н}}} - \frac{\nu_{\text{в}} RT}{V_{\text{в}}} = \frac{\nu'_{\text{н}} RT}{V'_{\text{н}}} - \frac{\nu RT}{V'_{\text{в}}}.
Делим на RT/V:
\frac{\nu_{\text{н}}}{V_{\text{н}}/V} - \frac{\nu_{\text{в}}}{V_{\text{в}}/V} = \frac{(\nu - \Delta\nu)}{V'_{\text{н}}/V} - \frac{\nu}{V'_{\text{в}}/V}.
3\nu - \frac{3\nu}{2} = 4(\nu - \Delta\nu) - \frac{4\nu}{3}.
\frac{3\nu}{2} = 4\nu - 4\Delta\nu - \frac{4\nu}{3}.
\frac{3\nu}{2} = \nu\!\left(4 - \frac{4}{3}\right) - 4\Delta\nu = \frac{8\nu}{3} - 4\Delta\nu.
4\Delta\nu = \frac{8\nu}{3} - \frac{3\nu}{2} = \frac{16\nu - 9\nu}{6} = \frac{7\nu}{6}.
\Delta\nu = \frac{7\nu}{24} \approx \frac{7 \cdot 1}{24} \approx 0{,}29\,\text{моль}.