Решение
Дано:
$\nu_{\text{в}} = \nu_{\text{н}} = 1\,\text{моль}$, $V_{\text{в}}/V_{\text{н}} = 2$, $V'_{\text{в}}/V'_{\text{н}} = 3$, $T = \text{const}$
Найти:
$\Delta\nu$
Решение:
Запишем условие равновесия поршня (ось $x$ вверх):
$$p_{\text{н}} S = mg + p_{\text{в}} S \implies p_{\text{н}} - p_{\text{в}} = \frac{mg}{S}.$$
Это соотношение одинаково в обоих состояниях, значит:
$$p_{\text{н}} - p_{\text{в}} = p'_{\text{н}} - p'_{\text{в}} = \frac{mg}{S}.$$
Обозначим полный объём сосуда $V$. Из условий на отношения объёмов:
*Состояние 1:* $V_{\text{н}} + V_{\text{в}} = V$, $V_{\text{в}} = 2 V_{\text{н}}$, значит $V_{\text{н}} = \dfrac{V}{3}$, $V_{\text{в}} = \dfrac{2V}{3}$.
*Состояние 2:* $V'_{\text{н}} + V'_{\text{в}} = V$, $V'_{\text{в}} = 3 V'_{\text{н}}$, значит $V'_{\text{н}} = \dfrac{V}{4}$, $V'_{\text{в}} = \dfrac{3V}{4}$.
Из уравнения Менделеева–Клапейрона ($T = \text{const}$):
$$p = \frac{\nu RT}{V_{\text{объём}}}.$$
Подставляем в условие равновесия:
$$\frac{\nu_{\text{н}} RT}{V_{\text{н}}} - \frac{\nu_{\text{в}} RT}{V_{\text{в}}} = \frac{\nu'_{\text{н}} RT}{V'_{\text{н}}} - \frac{\nu RT}{V'_{\text{в}}}.$$
Делим на $RT/V$:
$$\frac{\nu_{\text{н}}}{V_{\text{н}}/V} - \frac{\nu_{\text{в}}}{V_{\text{в}}/V} = \frac{(\nu - \Delta\nu)}{V'_{\text{н}}/V} - \frac{\nu}{V'_{\text{в}}/V}.$$
$$3\nu - \frac{3\nu}{2} = 4(\nu - \Delta\nu) - \frac{4\nu}{3}.$$
$$\frac{3\nu}{2} = 4\nu - 4\Delta\nu - \frac{4\nu}{3}.$$
$$\frac{3\nu}{2} = \nu\!\left(4 - \frac{4}{3}\right) - 4\Delta\nu = \frac{8\nu}{3} - 4\Delta\nu.$$
$$4\Delta\nu = \frac{8\nu}{3} - \frac{3\nu}{2} = \frac{16\nu - 9\nu}{6} = \frac{7\nu}{6}.$$
$$\Delta\nu = \frac{7\nu}{24} \approx \frac{7 \cdot 1}{24} \approx 0{,}29\,\text{моль}.$$