МКТ

Задание №24. МКТ и Термодинамика. Высокий Уровень Сложности

№2. Задание 24

ID: 00002705

Закрытый сверху вертикальный цилиндрический сосуд, заполненный воздухом, разделён тяжёлым поршнем, способным скользить без трения, на две части. В начальном равновесном состоянии в верхней и нижней частях сосуда находилось по v = 1 моль воздуха, а отношение объёмов верхней и нижней частей сосуда было равно 2. После того как из нижней части сосуда удалили некоторое количество воздуха $$Δv$$ , через длительный промежуток времени установилось новое состояние равновесия с отношением объёмов верхней и нижней частей сосуда, равным 3. Температура воздуха Т в обеих частях сосуда всё время поддерживалась одинаковой и постоянной. Определите, какое количество воздуха было удалено из сосуда.

Источник: ФИПИ

Решение

Дано:

\nu_{\text{в}} = \nu_{\text{н}} = 1\,\text{моль}

V_{\text{в}}/V_{\text{н}} = 2

V'_{\text{в}}/V'_{\text{н}} = 3

T = \text{const}

Найти:

\Delta\nu

Решение:

Запишем условие равновесия поршня (ось

$x$

вверх):

p_{\text{н}} S = mg + p_{\text{в}} S \implies p_{\text{н}} - p_{\text{в}} = \frac{mg}{S}.

Это соотношение одинаково в обоих состояниях, значит:

p_{\text{н}} - p_{\text{в}} = p'_{\text{н}} - p'_{\text{в}} = \frac{mg}{S}.

Обозначим полный объём сосуда

$V$

. Из условий на отношения объёмов: *Состояние 1:*

V_{\text{н}} + V_{\text{в}} = V

V_{\text{в}} = 2 V_{\text{н}}

, значит

V_{\text{н}} = \dfrac{V}{3}

V_{\text{в}} = \dfrac{2V}{3}

. *Состояние 2:*

V'_{\text{н}} + V'_{\text{в}} = V

V'_{\text{в}} = 3 V'_{\text{н}}

, значит

V'_{\text{н}} = \dfrac{V}{4}

V'_{\text{в}} = \dfrac{3V}{4}

. Из уравнения Менделеева–Клапейрона (

T = \text{const}

p = \frac{\nu RT}{V_{\text{объём}}}.

Подставляем в условие равновесия:

\frac{\nu_{\text{н}} RT}{V_{\text{н}}} - \frac{\nu_{\text{в}} RT}{V_{\text{в}}} = \frac{\nu'_{\text{н}} RT}{V'_{\text{н}}} - \frac{\nu RT}{V'_{\text{в}}}.

Делим на

$RT/V$

\frac{\nu_{\text{н}}}{V_{\text{н}}/V} - \frac{\nu_{\text{в}}}{V_{\text{в}}/V} = \frac{(\nu - \Delta\nu)}{V'_{\text{н}}/V} - \frac{\nu}{V'_{\text{в}}/V}.

3\nu - \frac{3\nu}{2} = 4(\nu - \Delta\nu) - \frac{4\nu}{3}.

\frac{3\nu}{2} = 4\nu - 4\Delta\nu - \frac{4\nu}{3}.

\frac{3\nu}{2} = \nu\!\left(4 - \frac{4}{3}\right) - 4\Delta\nu = \frac{8\nu}{3} - 4\Delta\nu.

4\Delta\nu = \frac{8\nu}{3} - \frac{3\nu}{2} = \frac{16\nu - 9\nu}{6} = \frac{7\nu}{6}.

\Delta\nu = \frac{7\nu}{24} \approx \frac{7 \cdot 1}{24} \approx 0{,}29\,\text{моль}.

Ответ

Δν = 7ν/24 ≈ 0,29 моль

Видеоразбор

Другие задания по теме «МКТ» (8)