МКТ — Задание 24 ЕГЭ по физике №00002703

Дано:

$M = 145 \text{ кг}$ (масса оболочки)

$V = 230 \text{ м}^3$ (объём шара)

$P_0 = 10^5 \text{ Па}$ (атмосферное давление)

$t = 265 \text{ °С}$, $T_{\text{гор}} = 265 + 273 = 538 \text{ К}$ (температура горячего воздуха)

$\mu = 29 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$ (молярная масса воздуха)

$R = 8{,}31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}$

Найти:

$T_0$ — ?

Решение:

Условие начала подъёма шара (равнодействующая равна нулю):

$$F_A = m_{\text{возд}} g + M g$$

где $F_A$ — сила Архимеда, $m_{\text{возд}}$ — масса горячего воздуха внутри шара.

Сила Архимеда:

$$F_A = \rho_0 V g$$

где $\rho_0$ — плотность окружающего воздуха. Сокращая $g$:

$$\rho_0 V = m_{\text{возд}} + M$$

Из уравнения Менделеева–Клапейрона плотность окружающего воздуха:

$$\rho_0 = \frac{P_0 \mu}{R T_0}$$

Поскольку в нижней части оболочки есть отверстие, давление горячего воздуха внутри шара равно атмосферному: $P_{\text{гор}} = P_0$.

Масса горячего воздуха внутри шара:

$$m_{\text{возд}} = \rho_{\text{гор}} V = \frac{P_0 \mu V}{R T_{\text{гор}}}$$

Подставляем в условие равновесия:

$$\frac{P_0 \mu V}{R T_0} = \frac{P_0 \mu V}{R T_{\text{гор}}} + M$$

Выражаем $T_0$:

$$T_0 = \frac{P_0 \mu V}{R \left(\dfrac{P_0 \mu V}{R T_{\text{гор}}} + M\right)}$$

Подставляем числа:

$$T_0 = \frac{10^5 \cdot 29 \cdot 10^{-3} \cdot 230}{8{,}31 \cdot \left(\dfrac{10^5 \cdot 29 \cdot 10^{-3} \cdot 230}{8{,}31 \cdot 538} + 145\right)} \approx 273 \text{ К}$$