Дано:

M = 145 \text{ кг} (масса оболочки)

V = 230 \text{ м}^3 (объём шара)

P_0 = 10^5 \text{ Па} (атмосферное давление)

t = 265 \text{ °С}, T_{\text{гор}} = 265 + 273 = 538 \text{ К} (температура горячего воздуха)

\mu = 29 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль} (молярная масса воздуха)

R = 8{,}31 \text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}

Найти:

T_0 — ?

Решение:

Условие начала подъёма шара (равнодействующая равна нулю):

F_A = m_{\text{возд}} g + M g

где F_A — сила Архимеда, m_{\text{возд}} — масса горячего воздуха внутри шара.

Сила Архимеда:

F_A = \rho_0 V g

где \rho_0 — плотность окружающего воздуха. Сокращая g:

\rho_0 V = m_{\text{возд}} + M

Из уравнения Менделеева–Клапейрона плотность окружающего воздуха:

\rho_0 = \frac{P_0 \mu}{R T_0}

Поскольку в нижней части оболочки есть отверстие, давление горячего воздуха внутри шара равно атмосферному: P_{\text{гор}} = P_0.

Масса горячего воздуха внутри шара:

m_{\text{возд}} = \rho_{\text{гор}} V = \frac{P_0 \mu V}{R T_{\text{гор}}}

Подставляем в условие равновесия:

\frac{P_0 \mu V}{R T_0} = \frac{P_0 \mu V}{R T_{\text{гор}}} + M

Выражаем T_0:

T_0 = \frac{P_0 \mu V}{R \left(\dfrac{P_0 \mu V}{R T_{\text{гор}}} + M\right)}

Подставляем числа:

T_0 = \frac{10^5 \cdot 29 \cdot 10^{-3} \cdot 230}{8{,}31 \cdot \left(\dfrac{10^5 \cdot 29 \cdot 10^{-3} \cdot 230}{8{,}31 \cdot 538} + 145\right)} \approx 273 \text{ К}