Решение
Дано:
зависимость плотности $\rho$ одноатомного идеального газа от давления $p$ в процессе $1 \to 2 \to 3$. Количество газа постоянно. Процесс $1\to2$ — горизонтальная линия ($\rho = \text{const}$, давление уменьшается). Процесс $2\to3$ — линейная зависимость $\rho$ от $p$ через начало координат.
Найти:
построить график в координатах $pV$ и объяснить.
Решение:
Шаг 1. Связь плотности с объёмом.
Для газа постоянной массы $m$: $\rho = \dfrac{m}{V}$, поэтому $V = \dfrac{m}{\rho}$.
При постоянной массе $\rho \propto \dfrac{1}{V}$.
Шаг 2. Анализ процесса $1 \to 2$ ($\rho = \text{const}$).
Плотность постоянна $\Rightarrow$ объём постоянен: $V = \text{const}$. Давление уменьшается в 2 раза ($p_2 = p_1/2$). Это изохорный процесс: вертикальный отрезок вниз в координатах $pV$.
По закону Шарля: $\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$, температура тоже уменьшается в 2 раза.
Шаг 3. Анализ процесса $2 \to 3$ ($\rho \propto p$, прямая через начало).
$\rho \propto p \Rightarrow \dfrac{m}{V} \propto p \Rightarrow pV = \text{const}$. Это изотермический процесс. Температура остаётся равной $T_2$.
При давлении $p_3 = p_2/2 = p_1/4$: $p_3 V_3 = p_2 V_2 \Rightarrow V_3 = 2V_2$.
Шаг 4. График в координатах $pV$.
- Точка 1: $(V_0,\, p_1) = (V_0,\, 4p_0)$.
- Процесс $1\to2$: вертикальный отрезок $V = V_0$, давление падает от $4p_0$ до $2p_0$ — изохора.
- Точка 2: $(V_0,\, 2p_0)$.
- Процесс $2\to3$: изотерма $pV = 2p_0 V_0 = \text{const}$, гипербола от $(V_0, 2p_0)$ до $(2V_0, p_0)$ — изотерма.
- Точка 3: $(2V_0,\, p_0)$.
$$pV = \text{const (изотерма 2-3)}, \quad V = \text{const (изохора 1-2)}$$Ответ
Изохорный процесс 1–2 (изменение давления при постоянном объёме), изотермический процесс 2–3 (гипербола в координатах pV)
