Дано:

зависимость плотности \rho одноатомного идеального газа от давления p в процессе 1 \to 2 \to 3. Количество газа постоянно. Процесс 1\to2 — горизонтальная линия (\rho = \text{const}, давление уменьшается). Процесс 2\to3 — линейная зависимость \rho от p через начало координат.

Найти:

построить график в координатах pV и объяснить.

Решение:

Шаг 1. Связь плотности с объёмом.

Для газа постоянной массы m: \rho = \dfrac{m}{V}, поэтому V = \dfrac{m}{\rho}. При постоянной массе \rho \propto \dfrac{1}{V}.

Шаг 2. Анализ процесса 1 \to 2 (\rho = \text{const}).

Плотность постоянна \Rightarrow объём постоянен: V = \text{const}. Давление уменьшается в 2 раза (p_2 = p_1/2). Это изохорный процесс: вертикальный отрезок вниз в координатах pV. По закону Шарля: \dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}, температура тоже уменьшается в 2 раза.

Шаг 3. Анализ процесса 2 \to 3 (\rho \propto p, прямая через начало).

\rho \propto p \Rightarrow \dfrac{m}{V} \propto p \Rightarrow pV = \text{const}. Это изотермический процесс. Температура остаётся равной T_2. При давлении p_3 = p_2/2 = p_1/4: p_3 V_3 = p_2 V_2 \Rightarrow V_3 = 2V_2.

Шаг 4. График в координатах pV.

- Точка 1: (V_0,\, p_1) = (V_0,\, 4p_0). - Процесс 1\to2: вертикальный отрезок V = V_0, давление падает от 4p_0 до 2p_0 — изохора. - Точка 2: (V_0,\, 2p_0). - Процесс 2\to3: изотерма pV = 2p_0 V_0 = \text{const}, гипербола от (V_0, 2p_0) до (2V_0, p_0) — изотерма. - Точка 3: (2V_0,\, p_0). pV = \text{const (изотерма 2-3)}, \quad V = \text{const (изохора 1-2)}