ID: 00002213
В горизонтальном цилиндре с гладкими стенками под массивным поршнем площадью S находится одноатомный идеальный газ. Поршень соединён с основанием цилиндра пружиной. В начальном состоянии расстояние между поршнем и основанием цилиндра было равно L, а давление газа в цилиндре было равно внешнему атмосферному давлению $р_{0}$ (см. рисунок). Затем газу было передано количество теплоты Q, и в результате поршень медленно переместился вправо на расстояние b. Чему равна жёсткость пружины k?
Источник: ФИПИ
Поршень в горизонтальном цилиндре соединён пружиной с основанием. Сначала газ давит как атмосфера, поэтому пружина не деформирована. После подвода тепла газ толкает поршень на $b$ и растягивает пружину. Тепло идёт на рост внутренней энергии газа, работу против атмосферы и растяжение пружины — отсюда найдём жёсткость пружины.
Давление после нагрева. Поршень сдвинулся на $b$, пружина тянет назад силой $kb$: новое равновесие $pS=p_0S+kb$, то есть $p=p_0+\dfrac{kb}{S}$.
Первый закон термодинамики. Работа газа $A=p_0Sb+\dfrac{kb^2}{2}$, изменение внутренней энергии $\Delta U=\dfrac{3}{2}\big(p_0Sb+kbL+kb^2\big)$. Тогда $Q=\Delta U+A=\dfrac{5}{2}p_0Sb+\dfrac{3}{2}kbL+2kb^2$.
Выразим жёсткость. Перенесём слагаемое с площадью: $Q-\dfrac{5}{2}p_0Sb=k\left(\dfrac{3}{2}bL+2b^2\right)$, откуда $k=\dfrac{Q-\dfrac{5}{2}p_0Sb}{2b^2+\dfrac{3}{2}bL}$.
k = (Q − 2,5·p₀·S·b) / (2b² + 1,5·b·L)