ID: 00002011
Школьник, изучая механические колебания, изготовил два маятника – математический с периодом малых колебаний T_{1} = 1 c и пружинный с периодом колебаний T_{2} = 2T_{1}. Второй маятник был подвешен в вертикальном положении за свободный конец пружины. Найдите деформацию x0 пружины для второго маятника в состоянии равновесия.
Источник: ФИПИ
Второй (пружинный) маятник висит вертикально. В положении равновесия пружина растянута силой тяжести груза, и эта деформация связана с жёсткостью пружины. А жёсткость, в свою очередь, определяет период колебаний. Свяжем всё вместе.
Период пружинного маятника. T_2=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}. Отсюда \dfrac{m}{k}=\left(\dfrac{T_2}{2\pi}\right)^2.
Деформация в положении равновесия. В равновесии сила упругости уравновешивает силу тяжести: k x_0=mg, откуда x_0=\dfrac{mg}{k}=g\cdot\dfrac{m}{k}.
Подставим. x_0=g\left(\dfrac{T_2}{2\pi}\right)^2. Период T_2=2T_1=2 с, поэтому
x_0=10\cdot\left(\dfrac{2}{2\pi}\right)^2=\dfrac{10}{\pi^2}\approx1{,}01\ \text{м}.
x_0=\dfrac{g}{\pi^2}\cdot\left(\dfrac{T_2}{2}\right)^2\approx1{,}01 м