Дано:

k = 200 Н/м — жёсткость пружины x_0 = 2 см = 0{,}02 м — амплитуда колебаний (из графика) v_0 = 40 см/с = 0{,}40 м/с — амплитуда скорости (из графика)

Найти:

верные утверждения из списка 1–5

Решение:

Уравнение гармонических колебаний координаты: x(t) = x_0 \cos(\omega t). Берём производную, получаем проекцию скорости: v_x(t) = -x_0 \omega \sin(\omega t). Амплитуда скорости: v_0 = x_0 \cdot \omega, откуда: \omega = \frac{v_0}{x_0} = \frac{0{,}40}{0{,}02} = 20 \text{ рад/с} Утверждение 1 — верно: \omega = 20 рад/с. Утверждение 2: период колебаний: T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = 0{,}1\pi \text{ с}

Утверждение 2 — верно.

Утверждение 3: берём вторую производную: a_x(t) = -x_0 \omega^2 \cos(\omega t). Максимальное ускорение: a_0 = x_0 \cdot \omega^2 = 0{,}02 \cdot 400 = 8 \text{ м/с}^2 = 800 \text{ см/с}^2

Утверждение 3 — верно.

Утверждение 4: из формулы периода пружинного маятника T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} выражаем массу: m = \frac{T^2 k}{4\pi^2} = \frac{(0{,}1\pi)^2 \cdot 200}{4\pi^2} = \frac{0{,}01\pi^2 \cdot 200}{4\pi^2} = \frac{2}{4} = 0{,}5 \text{ кг} Масса груза 0{,}5 кг, а не 1 кг. Утверждение 4 — неверно. Утверждение 5: максимальная потенциальная энергия достигается в крайнем нижнем положении. В положении равновесия пружина уже растянута на \Delta x_0 = \frac{mg}{k} = \frac{0{,}5 \cdot 10}{200} = 0{,}025 м. В крайнем нижнем положении полное удлинение пружины: \Delta x = \Delta x_0 + x_0 = 0{,}025 + 0{,}02 = 0{,}045 м. W_{max} = \frac{k \cdot (\Delta x)^2}{2} = \frac{200 \cdot (0{,}045)^2}{2} = 100 \cdot 0{,}002025 = 0{,}2025 \text{ Дж} Это далеко от 4 кДж. Утверждение 5 — неверно. Верные утверждения: 1, 2, 3.