Решение
Дано:
$k = 200$ Н/м — жёсткость пружины
$x_0 = 2$ см $= 0{,}02$ м — амплитуда колебаний (из графика)
$v_0 = 40$ см/с $= 0{,}40$ м/с — амплитуда скорости (из графика)
Найти:
верные утверждения из списка 1–5
Решение:
Уравнение гармонических колебаний координаты: $x(t) = x_0 \cos(\omega t)$.
Берём производную, получаем проекцию скорости: $v_x(t) = -x_0 \omega \sin(\omega t)$.
Амплитуда скорости: $v_0 = x_0 \cdot \omega$, откуда:
$$\omega = \frac{v_0}{x_0} = \frac{0{,}40}{0{,}02} = 20 \text{ рад/с}$$
Утверждение 1 — верно: $\omega = 20$ рад/с.
Утверждение 2: период колебаний:
$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = 0{,}1\pi \text{ с}$$
Утверждение 2 — верно.
Утверждение 3: берём вторую производную: $a_x(t) = -x_0 \omega^2 \cos(\omega t)$. Максимальное ускорение:
$$a_0 = x_0 \cdot \omega^2 = 0{,}02 \cdot 400 = 8 \text{ м/с}^2 = 800 \text{ см/с}^2$$
Утверждение 3 — верно.
Утверждение 4: из формулы периода пружинного маятника $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ выражаем массу:
$$m = \frac{T^2 k}{4\pi^2} = \frac{(0{,}1\pi)^2 \cdot 200}{4\pi^2} = \frac{0{,}01\pi^2 \cdot 200}{4\pi^2} = \frac{2}{4} = 0{,}5 \text{ кг}$$
Масса груза $0{,}5$ кг, а не 1 кг. Утверждение 4 — неверно.
Утверждение 5: максимальная потенциальная энергия достигается в крайнем нижнем положении. В положении равновесия пружина уже растянута на $\Delta x_0 = \frac{mg}{k} = \frac{0{,}5 \cdot 10}{200} = 0{,}025$ м. В крайнем нижнем положении полное удлинение пружины: $\Delta x = \Delta x_0 + x_0 = 0{,}025 + 0{,}02 = 0{,}045$ м.
$$W_{max} = \frac{k \cdot (\Delta x)^2}{2} = \frac{200 \cdot (0{,}045)^2}{2} = 100 \cdot 0{,}002025 = 0{,}2025 \text{ Дж}$$
Это далеко от 4 кДж. Утверждение 5 — неверно.
Верные утверждения: 1, 2, 3.
