ID: 00001362
В механической системе, изображённой на рисунке, двухступенчатый блок с радиусами r = 10 см и R = 20 см может вращаться без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси. К блоку прикреплена лёгкая штанга длиной l = 25 см, на конце которой расположен маленький груз массой m = 400 г, а на ступени блока намотана невесомая нерастяжимая нить, концы которой закреплены на блоке. На нити под этим блоком висит очень лёгкий подвижный блок радиусом 15 см, который может вращаться без трения вокруг своей оси, к которой подвешен груз массой M = 0,9 кг. Вначале штангу удерживали в вертикальном положении, а затем отпустили, и после затухания колебаний в системе штанга в положении равновесия оказалась отклонённой от вертикали на угол α. Чему равен этот угол?
Источник: ФИПИ
R = 0{,}2 \text{ м}, \quad r = 0{,}1 \text{ м}, \quad L = 0{,}25 \text{ м}
m = 0{,}4 \text{ кг}, \quad M = 0{,}9 \text{ кг}, \quad g = 10 \text{ м/с}^2
\alpha — ?
Система находится в равновесии. Находим силу натяжения нити из условия равновесия подвижного блока (ось Oy вверх):
2T = Mg \implies T = \frac{Mg}{2} = \frac{0{,}9 \cdot 10}{2} = 4{,}5 \text{ Н}
Для двухступенчатого блока записываем уравнение моментов относительно оси вращения (точка O). Нить на большом радиусе R создаёт момент против часовой стрелки, нить на малом радиусе r — по часовой, сила тяжести груза mg на конце штанги с плечом x = L\sin\alpha — по часовой:
-T \cdot R + T \cdot r + mg \cdot L\sin\alpha = 0
Выражаем \sin\alpha:
mg L \sin\alpha = T(R - r)
\sin\alpha = \frac{T(R - r)}{mgL} = \frac{M g (R - r)}{2mgL}
\sin\alpha = \frac{0{,}9 \cdot (0{,}2 - 0{,}1)}{2 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}25} = \frac{0{,}9 \cdot 0{,}1}{0{,}2} = \frac{0{,}09}{0{,}2} = 0{,}45
\alpha = \arcsin(0{,}45) \approx 26{,}7°
26,7