Решение
Дано:
$m_1 = m_2 = 1\text{ кг}$ — масса каждого бруска, толщина каждого $h = 5\text{ см} = 0{,}05\text{ м}$, бруски плавают так, что уровень воды приходится на границу между ними, $\rho_{\text{воды}} = 1000\text{ кг/м}^3$, $g = 10\text{ м/с}^2$
Найти:
Какие утверждения из списка верны?
Решение:
Пусть площадь горизонтального сечения каждого бруска равна $S$.
Бруски плавают: уровень воды на границе — нижний брусок полностью погружён, верхний — нет. Обозначим глубину погружения верхнего бруска $x$.
Условие равновесия (сила Архимеда = сила тяжести обоих брусков):
$$\rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot (h + x) \cdot S = (m_1 + m_2) \cdot g$$
$$1000 \cdot (0{,}05 + x) \cdot S = 2$$
Из условия нижний брусок полностью погружён ($h = 0{,}05\text{ м}$), верхний — частично. Из условия задачи уровень воды на границе между брусками, т.е. нижний брусок полностью в воде, верхний — нет ($x = 0$):
$$\rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot h \cdot S = 2mg \Rightarrow 1000 \cdot 0{,}05 \cdot S = 2 \Rightarrow S = 0{,}04\text{ м}^2$$
Проверяем утверждение о силе Архимеда:
$$F_A = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V_{\text{погр}} = 1000 \cdot 10 \cdot (0{,}05 \cdot 0{,}04) = 20\text{ Н}$$
Это равно $2mg = 2 \cdot 1 \cdot 10 = 20\text{ Н}$ — верно (утверждение 2 верно).
Плотность материала брусков (оба одинаковы, нижний полностью погружён):
$$\rho_{\text{бр}} = \frac{m}{V} = \frac{1}{S \cdot h} = \frac{1}{0{,}04 \cdot 0{,}05} = 500\text{ кг/м}^3$$
Плотность меньше 1000 кг/м³ (утверждение 1 неверно).
При добавлении третьего такого же бруска сверху масса системы станет $3\text{ кг}$, новая глубина погружения:
$$h_{\text{новая}} = \frac{3m}{\rho_{\text{воды}} \cdot S} = \frac{3}{1000 \cdot 0{,}04} = 0{,}075\text{ м} = 7{,}5\text{ см}$$
Глубина увеличится на $7{,}5 - 5 = 2{,}5\text{ см}$ (утверждение 3 верно: увеличится не на 5 см, а на 2,5 см).
