Динамика — Задание 26 ЕГЭ по физике №00001025

Дано:

$M = 0{,}8\ \text{кг},\ m = 0{,}4\ \text{кг},\ k = 80\ \text{Н/м},\ L_0 = 0{,}1\ \text{м},\ \mu = 0{,}2,\ g = 10\ \text{м/с}^2$

Найти:

$L$

Решение:

Обозначим большой груз (на горизонтальной поверхности) — тело 1, верхний брусок — тело 2, нижний — тело 3. Нить невесомая нерастяжимая, поэтому $T_1 = T_2 = T$, ускорения всех тел одинаковы по модулю: $a$. Пружина лёгкая, поэтому $F_\text{упр}$ одинакова с обеих сторон.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела:

Для тела 1 (по горизонтали):

$$T - \mu M g = M a$$

Для тела 2 (по вертикали вниз):

$$m g + F_\text{упр} - T = m a$$

Для тела 3 (по вертикали вниз):

$$m g - F_\text{упр} = m a$$

Из уравнения для тела 1 выражаем $T$:

$$T = M a + \mu M g$$

Из уравнений для тел 2 и 3 складываем:

$$(m g + F_\text{упр} - T) + (m g - F_\text{упр}) = 2 m a$$

$$2 m g - T = 2 m a$$

$$T = 2 m g - 2 m a = 2m(g - a)$$

Приравниваем выражения для $T$:

$$M a + \mu M g = 2m(g - a)$$

$$M a + \mu M g = 2mg - 2ma$$

$$a(M + 2m) = 2mg - \mu M g$$

$$a = \frac{g(2m - \mu M)}{M + 2m} = \frac{10(2 \cdot 0{,}4 - 0{,}2 \cdot 0{,}8)}{0{,}8 + 0{,}8} = \frac{10(0{,}8 - 0{,}16)}{1{,}6} = \frac{6{,}4}{1{,}6} = 4\ \text{м/с}^2$$

Из уравнения для тела 3 находим силу упругости пружины:

$$F_\text{упр} = m g - m a = m(g - a) = 0{,}4 \cdot (10 - 4) = 0{,}4 \cdot 6 = 2{,}4\ \text{Н}$$

По закону Гука:

$$F_\text{упр} = k \cdot \Delta L \Rightarrow \Delta L = \frac{F_\text{упр}}{k} = \frac{2{,}4}{80} = 0{,}03\ \text{м}$$

Длина пружины:

$$L = L_0 + \Delta L = 0{,}1 + 0{,}03 = 0{,}13\ \text{м}$$