ID: 00001025
Груз массой М = 800 г соединён невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с бруском массой m = 400 г. К этому бруску на лёгкой пружине жёсткостью k = 80 Н/м подвешен второй такой же брусок. Длина нерастянутой пружины l = 10 см, коэффициент трения груза о поверхность стола μ = 0,2. Определите длину пружины при движении брусков, считая, что при этом движении она постоянна. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз и бруски. Обоснуйте применимость используемых законов к решению задачи.
Источник: ФИПИ
M = 0{,}8\ \text{кг},\ m = 0{,}4\ \text{кг},\ k = 80\ \text{Н/м},\ L_0 = 0{,}1\ \text{м},\ \mu = 0{,}2,\ g = 10\ \text{м/с}^2
L
Обозначим большой груз (на горизонтальной поверхности) — тело 1, верхний брусок — тело 2, нижний — тело 3. Нить невесомая нерастяжимая, поэтому T_1 = T_2 = T, ускорения всех тел одинаковы по модулю: a. Пружина лёгкая, поэтому F_\text{упр} одинакова с обеих сторон.
Запишем второй закон Ньютона для каждого тела:
Для тела 1 (по горизонтали):
T - \mu M g = M a
Для тела 2 (по вертикали вниз):
m g + F_\text{упр} - T = m a
Для тела 3 (по вертикали вниз):
m g - F_\text{упр} = m a
Из уравнения для тела 1 выражаем T:
T = M a + \mu M g
Из уравнений для тел 2 и 3 складываем:
(m g + F_\text{упр} - T) + (m g - F_\text{упр}) = 2 m a
2 m g - T = 2 m a
T = 2 m g - 2 m a = 2m(g - a)
Приравниваем выражения для T:
M a + \mu M g = 2m(g - a)
M a + \mu M g = 2mg - 2ma
a(M + 2m) = 2mg - \mu M g
a = \frac{g(2m - \mu M)}{M + 2m} = \frac{10(2 \cdot 0{,}4 - 0{,}2 \cdot 0{,}8)}{0{,}8 + 0{,}8} = \frac{10(0{,}8 - 0{,}16)}{1{,}6} = \frac{6{,}4}{1{,}6} = 4\ \text{м/с}^2
Из уравнения для тела 3 находим силу упругости пружины:
F_\text{упр} = m g - m a = m(g - a) = 0{,}4 \cdot (10 - 4) = 0{,}4 \cdot 6 = 2{,}4\ \text{Н}
По закону Гука:
F_\text{упр} = k \cdot \Delta L \Rightarrow \Delta L = \frac{F_\text{упр}}{k} = \frac{2{,}4}{80} = 0{,}03\ \text{м}
Длина пружины:
L = L_0 + \Delta L = 0{,}1 + 0{,}03 = 0{,}13\ \text{м}
L = 0,13 м