Решение
Дано:
$R = 5000 \text{ км}, \quad g_2 = \dfrac{g_1}{4}$
Найти:
$h$ — расстояние от поверхности планеты.
Решение:
Ускорение свободного падения на расстоянии $r$ от центра планеты определяется из закона всемирного тяготения:
$$g = \frac{GM}{r^2}$$
На поверхности планеты ($r_1 = R$):
$$g_1 = \frac{GM}{R^2}$$
На высоте $h$ от поверхности ($r_2 = R + h$):
$$g_2 = \frac{GM}{(R + h)^2}$$
По условию $g_2 = g_1 / 4$, значит:
$$\frac{GM}{(R+h)^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{GM}{R^2}$$
$$(R+h)^2 = 4R^2 \implies R + h = 2R \implies h = R$$
$$h = 5000 \text{ км}$$
Расстояние от поверхности равно радиусу планеты.