Дано:

\nu = 4 моль He (одноатомный газ, i=3), \quad Q_\text{нагр} = 120\,000 Дж

Из pV-диаграммы (3 участка):

Точка 1: (V_0,\; p_0)

Точка 2: (V_0,\; 2p_0)

Точка 3: (4V_0,\; 3p_0)

R = 8{,}31 Дж/(моль·К)

Найти:

T_2 — ?

Решение:

Шаг 1. Определяем, на каких участках Q \gt 0 (нагреватель).

Участок 1→2 (изохорный): A_{12} = 0, давление растёт \Rightarrow T растёт \Rightarrow \Delta U \gt 0 \Rightarrow Q_{12} \gt 0 (нагреватель).

Участок 2→3: объём и давление растут \Rightarrow T растёт \Rightarrow \Delta U \gt 0, A \gt 0 \Rightarrow Q_{23} \gt 0 (нагреватель).

Участок 3→1: объём и давление уменьшаются \Rightarrow T падает \Rightarrow Q_{31} \lt 0 (холодильник).

Q_\text{нагр} = Q_{12} + Q_{23}

Шаг 2. Находим Q_{12} (изохорный).

Q_{12} = \Delta U_{12} = \frac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1) = \frac{3}{2}(p_2 V_2 - p_1 V_1) = \frac{3}{2}(2p_0 V_0 - p_0 V_0) = \frac{3}{2}p_0 V_0

Шаг 3. Находим Q_{23}.

Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23}

\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3 V_3 - p_2 V_2) = \frac{3}{2}(3p_0 \cdot 4V_0 - 2p_0 \cdot V_0) = \frac{3}{2}(12p_0 V_0 - 2p_0 V_0) = \frac{3}{2} \cdot 10p_0 V_0 = 15p_0 V_0

Площадь под кривой 2→3 (трапеция с основаниями 2p_0 и 3p_0, высотой 3V_0):

A_{23} = \frac{(2p_0 + 3p_0)}{2} \cdot 3V_0 = \frac{5p_0}{2} \cdot 3V_0 = 7{,}5\,p_0 V_0

Q_{23} = 15p_0 V_0 + 7{,}5\,p_0 V_0 = 22{,}5\,p_0 V_0

Шаг 4. Находим p_0 V_0.

Q_\text{нагр} = \frac{3}{2}p_0 V_0 + 22{,}5\,p_0 V_0 = 24\,p_0 V_0

p_0 V_0 = \frac{Q_\text{нагр}}{24} = \frac{120\,000}{24} = 5\,000 \text{ Дж}

Шаг 5. Находим T_2 из уравнения состояния.

T_2 = \frac{p_2 V_2}{\nu R} = \frac{2p_0 V_0}{\nu R} = \frac{2 \cdot 5\,000}{4 \cdot 8{,}31} = \frac{10\,000}{33{,}24} \approx 301 \text{ К}