ID: 00000599
В цикле, показанном на pV-диаграмме, v = 4 моль разреженного гелия получает от нагревателя количество теплоты $Q_{нагр}$ = 120 кДж. Найдите температуру $T_{2}$ гелия в состоянии 2.
Источник: ФИПИ
$\nu = 4$ моль He (одноатомный газ, $i=3$), $\quad Q_\text{нагр} = 120\,000$ Дж
Из $pV$-диаграммы (3 участка):
Точка 1: $(V_0,\; p_0)$
Точка 2: $(V_0,\; 2p_0)$
Точка 3: $(4V_0,\; 3p_0)$
$R = 8{,}31$ Дж/(моль·К)
$T_2$ — ?
Шаг 1. Определяем, на каких участках $Q \gt 0$ (нагреватель).
Участок 1→2 (изохорный): $A_{12} = 0$, давление растёт $\Rightarrow$ $T$ растёт $\Rightarrow$ $\Delta U \gt 0 \Rightarrow Q_{12} \gt 0$ (нагреватель).
Участок 2→3: объём и давление растут $\Rightarrow$ $T$ растёт $\Rightarrow$ $\Delta U \gt 0$, $A \gt 0 \Rightarrow Q_{23} \gt 0$ (нагреватель).
Участок 3→1: объём и давление уменьшаются $\Rightarrow$ $T$ падает $\Rightarrow$ $Q_{31} \lt 0$ (холодильник).
$$Q_\text{нагр} = Q_{12} + Q_{23}$$
Шаг 2. Находим $Q_{12}$ (изохорный).
$$Q_{12} = \Delta U_{12} = \frac{3}{2}\nu R(T_2 - T_1) = \frac{3}{2}(p_2 V_2 - p_1 V_1) = \frac{3}{2}(2p_0 V_0 - p_0 V_0) = \frac{3}{2}p_0 V_0$$
Шаг 3. Находим $Q_{23}$.
$$Q_{23} = \Delta U_{23} + A_{23}$$
$$\Delta U_{23} = \frac{3}{2}(p_3 V_3 - p_2 V_2) = \frac{3}{2}(3p_0 \cdot 4V_0 - 2p_0 \cdot V_0) = \frac{3}{2}(12p_0 V_0 - 2p_0 V_0) = \frac{3}{2} \cdot 10p_0 V_0 = 15p_0 V_0$$
Площадь под кривой 2→3 (трапеция с основаниями $2p_0$ и $3p_0$, высотой $3V_0$):
$$A_{23} = \frac{(2p_0 + 3p_0)}{2} \cdot 3V_0 = \frac{5p_0}{2} \cdot 3V_0 = 7{,}5\,p_0 V_0$$
$$Q_{23} = 15p_0 V_0 + 7{,}5\,p_0 V_0 = 22{,}5\,p_0 V_0$$
Шаг 4. Находим $p_0 V_0$.
$$Q_\text{нагр} = \frac{3}{2}p_0 V_0 + 22{,}5\,p_0 V_0 = 24\,p_0 V_0$$
$$p_0 V_0 = \frac{Q_\text{нагр}}{24} = \frac{120\,000}{24} = 5\,000 \text{ Дж}$$
Шаг 5. Находим $T_2$ из уравнения состояния.
$$T_2 = \frac{p_2 V_2}{\nu R} = \frac{2p_0 V_0}{\nu R} = \frac{2 \cdot 5\,000}{4 \cdot 8{,}31} = \frac{10\,000}{33{,}24} \approx 301 \text{ К}$$
$T_{2}$ ≈ 301 К.