Связь | шины… — Задание 3 ОГЭ по математике №00025112

Задание №3. Прикладная геометрия: площадь

Связь | шины | печки

№2. Задание 3

ID: 00025112

Два друга Миша и Гриша задумались о том, как рассчитать площадь поверхности зонта. Купол зонта состоит из двенадцати отдельных клиньев, натянутых на каркас из двенадцати спиц (рис. 1). Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.

Миша и Гриша сумели измерить расстояние между концами соседних спиц $$a$$ . Оно оказалось равно $$30$$ см. Высота купола зонта $$h$$ (рис. 2) оказалась равна $$29$$ см, а расстояние $$d$$ между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, — ровно $$116$$ см.

https://cdn.global-ee.ru/tasks/e2b1bcd7-dcdd-4f86-bab0-d030046e63ee/23735f15-c1b9-4aa2-81e2-c3b5522e5b9d.webp

Гриша предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус $$R$$ сферы купола, зная, что $$OC=R$$ (рис. 2). Ответ дайте в сантиметрах.

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

На рисунке 2 виден прямоугольный треугольник с гипотенузой $$R$$ (радиус сферы, $$OC$$ ), одним катетом — радиусом основания купола (половина расстояния $$d$$ между концами крайних спиц) и другим катетом, равным $$R-h$$ (расстояние от центра сферы $$O$$ до плоскости основания купола).

Радиус основания купола: $r=\dfrac{d}{2}=\dfrac{116}{2}=58$ см.

По теореме Пифагора для этого треугольника: $$r^2+(R-h)^2=R^2$$ . Раскроем скобку и приведём подобные — получится известная формула сферического сегмента:

$$$r^2=R^2-(R-h)^2=2Rh-h^2=h(2R-h).$$$

Подставим $$r=58$$ и $$h=29$$ :

$58^2=29(2R-29) \;\Rightarrow\; 3364=58R-841.$

$58R=3364+841=4205 \;\Rightarrow\; R=\dfrac{4205}{58}=72{,}5 \text{ см}.$

Проверка: $29\cdot(2\cdot72{,}5-29)=29\cdot(145-29)=29\cdot116=3364=58^2$ — сходится.

Ответ

72,5

Другие задания по теме «Связь | шины | печки» (8)