ID: 00013332
Углы при одном из оснований трапеции равны $77^\circ$ и $13^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $11$ и $10$. Найдите основания трапеции.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. два данных отрезка — это полусумма и полуразность оснований; останется решить простую систему.
Один из отрезков, соединяющих середины противоположных сторон трапеции, — это средняя линия; она соединяет середины боковых сторон и равна полусумме оснований.
Сумма углов при основании равна $77^\circ+13^\circ=90^\circ$. Тогда второй отрезок — соединяющий середины оснований — равен полуразности оснований (известный факт для трапеции с суммой углов при основании $90^\circ$).
Полусумма всегда больше полуразности, поэтому $11$ — это полусумма, а $10$ — полуразность оснований.
Получаем систему: $\dfrac{a+b}{2}=11$ и $\dfrac{a-b}{2}=10$, то есть $a+b=22$ и $a-b=20$.
Сложив и вычтя уравнения, находим основания: $a=21$ и $b=1$.
$21$; $1$