ID: 00013247
В треугольнике $ABC$ известны длины сторон $AB$ = $40$, $AC$ = $64$, точка $O$ – центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. перпендикуляр к радиусу — это направление касательной; отсюда подобие и нужный отрезок.
Прямая $BD$ перпендикулярна радиусу $AO$, проведённому в вершину $A$. Касательная к описанной окружности в точке $A$ также перпендикулярна радиусу $AO$, поэтому прямая $BD$ параллельна этой касательной.
По свойству угла между касательной и хордой угол между касательной в $A$ и хордой $AB$ равен вписанному углу $C$. Из параллельности $BD$ и касательной угол $\angle ABD$ оказывается равным углу $C$ треугольника.
Тогда в треугольниках $ABD$ и $ACB$ угол $A$ общий, а $\angle ABD=\angle ACB$, значит треугольники подобны: $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AB}$.
Отсюда $AD=\dfrac{AB^2}{AC}=\dfrac{40^2}{64}=\dfrac{1600}{64}$, и $CD=AC-AD=\dfrac{AC^2-AB^2}{AC}=\dfrac{64^2-40^2}{64}=39$.