ID: 00013245
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC =\frac{2\sqrt{2}}{3} .
Источник: ФИПИ
💡 Идея. касательная из вершины даёт произведение отрезков, а центр найдём по хорде и условию касания.
Пусть окружность касается луча AB в точке E. По свойству касательной квадрат касательной равен произведению секущей: AE^2=AM\cdot AN=9\cdot 32=288, поэтому AE=\sqrt{288}.
Центр O окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде MN (она на прямой AC), то есть на расстоянии \dfrac{AM+AN}{2}=20.5 от A вдоль AC и на некоторой высоте k над AC.
Радиус выражается как R^2=k^2+\left(\dfrac{AN-AM}{2}\right)^2=k^2+11.5^2, где \dfrac{AN-AM}{2}=11.5 — половина хорды MN.
Условие касания прямой AB (расстояние от O до AB равно R) с учётом \cos\angle BAC=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} (откуда \sin\angle BAC=0.3333) даёт уравнение на k.
Решая его, находим радиус R=13,5.