ID: 00013245
Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно $9$ и $32$ от вершины $A$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB$, если cos∠$BAC$ =$\frac{2\sqrt{2}}{3}$ .
Источник: ФИПИ
💡 Идея. касательная из вершины даёт произведение отрезков, а центр найдём по хорде и условию касания.
Пусть окружность касается луча $AB$ в точке $E$. По свойству касательной квадрат касательной равен произведению секущей: $AE^2=AM\cdot AN=9\cdot 32=288$, поэтому $AE=\sqrt{288}$.
Центр $O$ окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде $MN$ (она на прямой $AC$), то есть на расстоянии $\dfrac{AM+AN}{2}=20.5$ от $A$ вдоль $AC$ и на некоторой высоте $k$ над $AC$.
Радиус выражается как $R^2=k^2+\left(\dfrac{AN-AM}{2}\right)^2=k^2+11.5^2$, где $\dfrac{AN-AM}{2}=11.5$ — половина хорды $MN$.
Условие касания прямой $AB$ (расстояние от $O$ до $AB$ равно $R$) с учётом $\cos\angle BAC=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ (откуда $\sin\angle BAC=0.3333$) даёт уравнение на $k$.
Решая его, находим радиус $R=13,5$.