ID: 00013241
На стороне BC остроугольного треугольника ABC как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD = 16, MD = 4, H – точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. свяжем высоту, точку на полуокружности и точку пересечения высот через произведения отрезков.
Точка M лежит на полуокружности с диаметром BC, поэтому \angle BMC=90^\circ, и MD — высота прямоугольного треугольника BMC, опущенная на гипотенузу BC.
По свойству высоты прямоугольного треугольника MD^2=BD\cdot DC, то есть BD\cdot DC=4^2=16.
С другой стороны, для точки пересечения высот (ортоцентра) H выполняется AD\cdot DH=BD\cdot DC (произведение отрезков высоты AD равно произведению отрезков стороны BC).
Отсюда DH=\dfrac{BD\cdot DC}{AD}=\dfrac{16}{16}=1.
Тогда AH=AD-DH=16-1=15.