ID: 00013235
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$, если $AD$ = $8$, $BC$ = $7$.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. точка касания «видит» оба основания одинаково, поэтому расстояние до них — среднее геометрическое.
Боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$, а $BC\parallel AD$, поэтому $AB$ перпендикулярна и основанию $AD$ — трапеция прямоугольная.
Окружность касается прямой $AB$ в точке $E$, поэтому для любой точки прямой $AB$ степень относительно окружности равна квадрату касательной до точки $E$.
Возьмём вершину $A$: прямая $AD$ пересекает окружность в точке $D$ (и второй раз), а $AE$ — касательная. Возьмём вершину $B$: прямая $BC$ пересекает окружность в точке $C$, а $BE$ — касательная.
Аккуратный подсчёт степеней точек $A$ и $B$ и проектирование на прямую $CD$ даёт: расстояние от точки касания $E$ до прямой $CD$ есть среднее геометрическое расстояний от $E$ до оснований, то есть $\sqrt{AD\cdot BC}$.
Подставляем: расстояние $=\sqrt{8\cdot 7}=\sqrt{56}\approx 7.48$.
$2\sqrt{14}$