ID: 00013225
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $BCA$ и $BDA$ равны. Докажите, что углы $ABD$ и $ACD$ также равны.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. если из двух точек отрезок виден под равными углами, все точки лежат на одной окружности.
Углы $BCA$ и $BDA$ равны и опираются на один и тот же отрезок $BA$, а их вершины $C$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $BA$.
Если из двух точек отрезок виден под равными углами и точки лежат по одну сторону от него, то эти точки и концы отрезка лежат на одной окружности (геометрическое место точек, из которых отрезок виден под данным углом).
Значит все вершины $ABCD$ лежат на одной окружности — около четырёхугольника можно описать окружность.
Тогда углы $ABD$ и $ACD$ — вписанные, и оба опираются на одну и ту же дугу $AD$.
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому $\angle ABD=\angle ACD$, что и требовалось доказать.