ID: 00013223
В треугольнике ABC с тупым углом ACB проведены высоты AA_{1} и BB_{1}. Докажите, что треугольники A_{1}CB_{1} и ACB подобны.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. основания высот лежат на окружности с диаметром-стороной — отсюда подобие.
В треугольнике ABC с тупым углом проведены высоты AA_{1} и CC_{1} из вершин A и C; их основания — A_{1} и C_{1}.
Высоты перпендикулярны сторонам, поэтому из точек A_{1} и C_{1} отрезок AC виден под прямым углом, и точки A_{1},C_{1} лежат на окружности с диаметром AC.
Значит четырёхугольник с вершинами A,C,A_{1},C_{1} вписанный, откуда \angle BA_{1}C_{1}=\angle BAC (через равные вписанные углы).
В треугольниках A_{1}BC_{1} и ABC угол при вершине B общий, а вторая пара углов равна по доказанному, поэтому они подобны по двум углам.
Подобие доказано, что и требовалось.