ID: 00013223
В треугольнике $ABC$ с тупым углом $ACB$ проведены высоты $AA_{1}$ и $BB_{1}$. Докажите, что треугольники $A_{1}CB_{1}$ и $ACB$ подобны.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. основания высот лежат на окружности с диаметром-стороной — отсюда подобие.
В треугольнике $ABC$ с тупым углом проведены высоты $AA_{1}$ и $CC_{1}$ из вершин $A$ и $C$; их основания — $A_{1}$ и $C_{1}$.
Высоты перпендикулярны сторонам, поэтому из точек $A_{1}$ и $C_{1}$ отрезок $AC$ виден под прямым углом, и точки $A_{1},C_{1}$ лежат на окружности с диаметром $AC$.
Значит четырёхугольник с вершинами $A,C,A_{1},C_{1}$ вписанный, откуда $\angle BA_{1}C_{1}=\angle BAC$ (через равные вписанные углы).
В треугольниках $A_{1}BC_{1}$ и $ABC$ угол при вершине $B$ общий, а вторая пара углов равна по доказанному, поэтому они подобны по двум углам.
Подобие доказано, что и требовалось.