Global EE

Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00013222

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Треугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00013222

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$. Докажите, что углы $CC_{1}B_{1}$ и $CBB_{1}$ равны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. основания высот лежат на окружности с диаметром-стороной — отсюда равные углы.

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ из вершин $B$ и $C$; их основания — $B_{1}$ и $C_{1}$.

Высота перпендикулярна стороне, поэтому углы $BB_{1}C$ и $CC_{1}B$ прямые — из точек $B_{1}$ и $C_{1}$ отрезок $BC$ виден под прямым углом.

Значит точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на окружности с диаметром $BC$, и четырёхугольник с вершинами $B,C,B_{1},C_{1}$ вписанный.

Углы $CC_{1}B_{1}$ и $CBB_{1}$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны между собой, что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: $\angle CC_1B_1=\angle CBB_1$ — основания высот $B_1$ и $C_1$ видят сторону $BC$ под прямым углом и лежат на окружности с диаметром $BC$, а в этом вписанном четырёхугольнике оба угла опираются на одну и ту же дугу

Видеоразбор

Другие задания по теме «Треугольники и их элементы» (8)