ID: 00013222
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$. Докажите, что углы $CC_{1}B_{1}$ и $CBB_{1}$ равны.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. основания высот лежат на окружности с диаметром-стороной — отсюда равные углы.
В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ из вершин $B$ и $C$; их основания — $B_{1}$ и $C_{1}$.
Высота перпендикулярна стороне, поэтому углы $BB_{1}C$ и $CC_{1}B$ прямые — из точек $B_{1}$ и $C_{1}$ отрезок $BC$ виден под прямым углом.
Значит точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на окружности с диаметром $BC$, и четырёхугольник с вершинами $B,C,B_{1},C_{1}$ вписанный.
Углы $CC_{1}B_{1}$ и $CBB_{1}$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны между собой, что и требовалось доказать.