В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB индекс 1 и CC индекс 1 . Докажите, что углы CC индекс 1 B индекс 1 и CBB индекс 1 равны.

Задание 24 ОГЭ по математике: В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB индекс 1 и…

ID: 00013222

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ . Докажите, что углы $CC_{1}B_{1}$ и $CBB_{1}$ равны.

Источник: ФИПИ

💡 Идея. основания высот лежат на окружности с диаметром-стороной — отсюда равные углы.

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ из вершин $B$ и $C$ ; их основания — $B_{1}$ и $C_{1}$ .

Высота перпендикулярна стороне, поэтому углы $BB_{1}C$ и $CC_{1}B$ прямые — из точек $B_{1}$ и $C_{1}$ отрезок $BC$ виден под прямым углом.

Значит точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на окружности с диаметром $BC$ , и четырёхугольник с вершинами $B,C,B_{1},C_{1}$ вписанный.

Углы $CC_{1}B_{1}$ и $CBB_{1}$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны между собой, что и требовалось доказать.

чтд