Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00013220

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Четырёхугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00013220

В трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ диагонали пересекаются в точке $$O$$ . Докажите, что площади треугольников $$AOB$$ и $$COD$$ равны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. два треугольника на общем основании равны по площади; вычтем общую часть.

В трапеции $$ABCD$$ диагонали пересекаются в точке $$O$$ . Рассмотрим треугольники $$ABD$$ и $$ACD$$ с общим основанием $$AD$$ .

Эти треугольники имеют общее основание $$AD$$ и равные высоты (вершины $$B$$ и $$C$$ лежат на прямой $$BC$$ , параллельной $$AD$$ ), поэтому их площади равны: $S_{ABD}=S_{ACD}$ .

У этих треугольников есть общая часть — треугольник $$AOD$$ .

Вычтем площадь общего треугольника $$AOD$$ из равных площадей: $S_{ABD}-S_{AOD}=S_{ACD}-S_{AOD}$ .

Слева — площадь треугольника $$AOB$$ , справа — площадь треугольника $$DOC$$ ; значит $S_{AOB}=S_{DOC}$ , что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано:

S_{AOB}=S_{COD}

— треугольники

$ABD$

$ACD$

равновелики (общее основание

$AD$

, равные высоты), вычитание общего треугольника

$AOD$

даёт равенство

Видеоразбор

Другие задания по теме «Четырёхугольники и их элементы» (8)