Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00013219

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Четырёхугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00013219

Основания $$BC$$ и $$AD$$ трапеции $$ABCD$$ равны соответственно $$5$$ и $$45$$ , $$BD$$ = $$15$$ . Докажите, что треугольники $$CBD$$ и $$BDA$$ подобны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. накрест лежащий угол плюс пропорция сторон дают подобие.

В трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$BC=5$$ и $$AD=45$$ дана диагональ $$BD=15$$ . Рассмотрим треугольники $$CBD$$ и $$BDA$$ .

Так как $BC\parallel AD$ , накрест лежащие углы при секущей $$BD$$ равны: $\angle CBD=\angle BDA$ .

Сравним стороны, прилежащие к этим равным углам: $\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$ и $\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{15}{45}=\dfrac{1}{3}$ — отношения равны.

Значит стороны, образующие равные углы, пропорциональны: $\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{BD}{AD}$ .

По второму признаку подобия (две пропорциональные стороны и равный угол между ними) треугольники $$CBD$$ и $$BDA$$ подобны, что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: треугольники

$CBD$

$BDA$

подобны — накрест лежащие углы

\angle CBD=\angle BDA

при

BC\parallel AD

, а стороны при них пропорциональны

\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{15}{45}=\dfrac{BD}{AD}

, откуда подобие по двум сторонам и углу между ними

Видеоразбор

Другие задания по теме «Четырёхугольники и их элементы» (8)