Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00013215

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Четырёхугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00013215

Биссектрисы углов $$A$$ и $$D$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$K$$ , лежащей на стороне $$BC$$ . Докажите, что $$K$$ – середина $$BC$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. каждая биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, и половины стороны оказываются равными.

Пусть в параллелограмме $$ABCD$$ биссектрисы углов $$A$$ и $$D$$ пересекаются в точке $$K$$ , лежащей на стороне $$BC$$ .

Биссектриса угла $$A$$ образует с основанием $$BC$$ накрест лежащие равные углы (стороны параллелограмма параллельны), поэтому отсекает равнобедренный треугольник: отрезок $$BK$$ равен прилежащей боковой стороне.

Точно так же биссектриса угла $$D$$ даёт равнобедренный треугольник у другого конца, и отрезок $$KC$$ равен другой боковой стороне.

В параллелограмме противоположные (боковые) стороны равны, поэтому $$BK=KC$$ .

Точка $$K$$ делит сторону $$BC$$ на две равные части $$BK=KC$$ , значит $$K$$ — середина $$BC$$ , что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано:

$K$

— середина

$BC$

— каждая биссектриса при основании

$BC$

даёт накрест лежащие равные углы и отсекает равнобедренный треугольник, поэтому

$BK=AB$

$KC=DC$

, а противоположные стороны параллелограмма равны (

$AB=DC$

)

Видеоразбор

Другие задания по теме «Четырёхугольники и их элементы» (8)