Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00013214

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Четырёхугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00013214

Биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$N$$ , лежащей на стороне $$CD$$ . Докажите, что $$N$$ – середина $$CD$$ .

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. каждая биссектриса отсекает равнобедренный треугольник, и половины стороны оказываются равными.

Пусть в параллелограмме $$ABCD$$ биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$N$$ , лежащей на стороне $$CD$$ .

Биссектриса угла $$A$$ образует с основанием $$CD$$ накрест лежащие равные углы (стороны параллелограмма параллельны), поэтому отсекает равнобедренный треугольник: отрезок $$CN$$ равен прилежащей боковой стороне.

Точно так же биссектриса угла $$B$$ даёт равнобедренный треугольник у другого конца, и отрезок $$ND$$ равен другой боковой стороне.

В параллелограмме противоположные (боковые) стороны равны, поэтому $$CN=ND$$ .

Точка $$N$$ делит сторону $$CD$$ на две равные части $$CN=ND$$ , значит $$N$$ — середина $$CD$$ , что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано:

$N$

— середина

$CD$

— каждая биссектриса при основании

$CD$

даёт накрест лежащие равные углы и отсекает равнобедренный треугольник, поэтому

$DN=AD$

$NC=BC$

, а противоположные стороны параллелограмма равны (

$AD=BC$

)

Видеоразбор

Другие задания по теме «Четырёхугольники и их элементы» (8)