Это задача на движение по воде. Обозначим собственную скорость баржи (скорость в неподвижной воде) за v км/ч; по смыслу v>5, иначе баржа не пойдёт против течения.

По течению река помогает, поэтому скорость баржи там v+5 км/ч; против течения река мешает, и скорость равна v-5 км/ч.

Время — это путь, делённый на скорость. По течению баржа прошла 48 км за \dfrac{48}{v+5} ч, а против течения 42 км за \dfrac{42}{v-5} ч.

Весь путь занял 5 ч, поэтому сумма времён равна 5:

\dfrac{48}{v+5}+\dfrac{42}{v-5}=5.

Умножим обе части на (v+5)(v-5)=v^2-25 и раскроем скобки:

48(v-5)+42(v+5)=5(v^2-25).

После приведения подобных получаем квадратное уравнение v^2-18v-19=0.

По теореме Виета его корни v=19 и v=-1. Отрицательный корень не подходит по смыслу, поэтому v=19.

Проверим: скорости 24 и 14 км/ч, тогда время \dfrac{48}{24}+\dfrac{42}{14}=5 ч — совпало с условием.

Собственная скорость баржи равна 19 км/ч.