ID: 00011791
Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Источник: ФИПИ
Это задача на движение по воде. Обозначим собственную скорость баржи (скорость в неподвижной воде) за $v$ км/ч; по смыслу $v>5$, иначе баржа не пойдёт против течения.
| Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км |
|---|---|---|---|
По течению | $v+5$ | $\dfrac{48}{v+5}$ | $48$ |
Против течения | $v-5$ | $\dfrac{42}{v-5}$ | $42$ |
По течению река помогает, поэтому скорость баржи там $v+5$ км/ч; против течения река мешает, и скорость равна $v-5$ км/ч.
Время — это путь, делённый на скорость. По течению баржа прошла $48$ км за $\dfrac{48}{v+5}$ ч, а против течения $42$ км за $\dfrac{42}{v-5}$ ч.
Весь путь занял $5$ ч, поэтому сумма времён равна $5$:
$$\dfrac{48}{v+5}+\dfrac{42}{v-5}=5.$$
Умножим обе части на $(v+5)(v-5)=v^2-25$ и раскроем скобки:
$$48(v-5)+42(v+5)=5(v^2-25).$$
После приведения подобных получаем квадратное уравнение $v^2-18v-19=0$.
По теореме Виета его корни $v=19$ и $v=-1$. Отрицательный корень не подходит по смыслу, поэтому $v=19$.
Проверим: скорости $24$ и $14$ км/ч, тогда время $\dfrac{48}{24}+\dfrac{42}{14}=5$ ч — совпало с условием.
Собственная скорость баржи равна $19$ км/ч.
19 км/ч