ID: 00011636
Постройте график функции $y=\frac{1}{2} (|\frac{x}{6} - \frac{6}{x}|+\frac{x}{6}+\frac{6}{x})$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Источник: ФИПИ
Используем тождество $\tfrac12\big(|a-b|+a+b\big)=\max(a,b)$: здесь $y=\max\!\left(\dfrac{x}{6},\ \dfrac{6}{x}\right)$.
При $x>0$ — «долина» с дном $y=1$ в точке $x=6$; при $x<0$ — «горб» с вершиной $y=-1$ в точке $x=-6$.
Любое значение между крайними достигается дважды, а само дно и вершина — по одному разу.
Ровно одна общая точка с прямой $y=m$ получается при $m=1$ и $m=-1$.
-1;1