ID: 00011635
Постройте график функции $y=\frac{1}{2} (|\frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x}|+\frac{x}{3,5}+\frac{3,5}{x})$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Источник: ФИПИ
Заметим тождество $\tfrac12\big(|a-b|+a+b\big)=\max(a,b)$. Здесь $y=\max\!\left(\dfrac{x}{3{,}5},\ \dfrac{3{,}5}{x}\right)$.
При $x>0$ это «долина» с дном $y=1$ в точке $x=3{,}5$: ниже единицы значений нет, $y=1$ достигается один раз, любое $y>1$ — дважды.
При $x<0$ обе дроби отрицательны, и $y$ образует «горб» с вершиной $y=-1$ при $x=-3{,}5$.
Ровно одна общая точка с прямой $y=m$ получается на уровне дна и вершины: при $m=1$ и при $m=-1$ (это подтверждает и парный пример $00011636$).
$-1$ и $1$