ID: 00011635
Постройте график функции y=\frac{1}{2} (|\frac{x}{3,5} - \frac{3,5}{x}|+\frac{x}{3,5}+\frac{3,5}{x}). Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.
Источник: ФИПИ
Заметим тождество \tfrac12\big(|a-b|+a+b\big)=\max(a,b). Здесь y=\max\!\left(\dfrac{x}{3{,}5},\ \dfrac{3{,}5}{x}\right).
При x>0 это «долина» с дном y=1 в точке x=3{,}5: ниже единицы значений нет, y=1 достигается один раз, любое y>1 — дважды.
При x<0 обе дроби отрицательны, и y образует «горб» с вершиной y=-1 при x=-3{,}5.
Ровно одна общая точка с прямой y=m получается на уровне дна и вершины: при m=1 и при m=-1 (это подтверждает и парный пример 00011636).
Ответ: m=-1 и m=1
-1 и 1