Постройте график функции y равно дробь: числитель: 3 модуль x модуль минус 1, знаменатель: модуль x модуль минус 3x в квадрате конец дроби и определите, при каких значениях k прямая y равно kx не имеет с графиком общих точек.

Задание 22 ОГЭ по математике: Постройте график функции y равно дробь: числитель: 3 модуль x…

№2. Задание 22

ID: 00011633

Постройте график функции $y=\frac{3|x|-1}{|x|-3x^2}$ и определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Решение

Упростим формулу функции. Заметим, что $x^2 = |x|^2$ , поэтому знаменатель раскладывается на множители: $|x| - 3x^2 = |x|\,(1 - 3|x|)$ .

Числитель: $3|x| - 1 = -(1 - 3|x|)$ .

При $1 - 3|x| \neq 0$ дробь сокращается: $y = \dfrac{-(1-3|x|)}{|x|\,(1-3|x|)} = -\dfrac{1}{|x|}.$

Область определения: $x \neq 0$ и $|x| \neq \dfrac{1}{3}$ , то есть на графике выколоты точки с $x = \pm\dfrac{1}{3}$ .

В этих точках $y = -\dfrac{1}{1/3} = -3$ : выколоты точки $\left(\dfrac{1}{3}; -3\right)$ и $\left(-\dfrac{1}{3}; -3\right)$ .

График $y = -\dfrac{1}{|x|}$ — две ветви гиперболы в третьей и четвёртой четвертях, симметричные относительно оси $y$ .

Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Разберём, когда она не пересекает график.

При $k = 0$ прямая $y = 0$ — ось $x$ : график всюду ниже оси, общих точек нет.

При $k \lt 0$ прямая идёт через вторую и четвёртую четверти и пересекает правую ветвь: $kx = -\dfrac{1}{x}$ при $x \gt 0$ даёт $x^2 = -\dfrac{1}{k}$ — решение есть всегда; общих точек НЕ будет, только если пересечение попадает в выколотую точку $\left(\dfrac{1}{3}; -3\right)$ : тогда $k = \dfrac{-3}{1/3} = -9$ .

При $k \gt 0$ прямая идёт через первую и третью четверти и пересекает левую ветвь; пересечение попадает в выколотую точку $\left(-\dfrac{1}{3}; -3\right)$ при $k = \dfrac{-3}{-1/3} = 9$ .

Итак, прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек при $k = -9$ , $k = 0$ и $k = 9$ .

Ответ

-9;0;9