Кусочно-непр… — Задание 22 ОГЭ по математике №00011633

Упростим формулу функции. Заметим, что $x^2 = |x|^2$, поэтому знаменатель раскладывается на множители: $|x| - 3x^2 = |x|\,(1 - 3|x|)$.

Числитель: $3|x| - 1 = -(1 - 3|x|)$.

При $1 - 3|x| \neq 0$ дробь сокращается: $$y = \dfrac{-(1-3|x|)}{|x|\,(1-3|x|)} = -\dfrac{1}{|x|}.$$

Область определения: $x \neq 0$ и $|x| \neq \dfrac{1}{3}$, то есть на графике выколоты точки с $x = \pm\dfrac{1}{3}$.

В этих точках $y = -\dfrac{1}{1/3} = -3$: выколоты точки $\left(\dfrac{1}{3}; -3\right)$ и $\left(-\dfrac{1}{3}; -3\right)$.

График $y = -\dfrac{1}{|x|}$ — две ветви гиперболы в третьей и четвёртой четвертях, симметричные относительно оси $y$.

Прямая $y = kx$ проходит через начало координат. Разберём, когда она не пересекает график.

При $k = 0$ прямая $y = 0$ — ось $x$: график всюду ниже оси, общих точек нет.

При $k \lt 0$ прямая идёт через вторую и четвёртую четверти и пересекает правую ветвь: $kx = -\dfrac{1}{x}$ при $x \gt 0$ даёт $x^2 = -\dfrac{1}{k}$ — решение есть всегда; общих точек НЕ будет, только если пересечение попадает в выколотую точку $\left(\dfrac{1}{3}; -3\right)$: тогда $k = \dfrac{-3}{1/3} = -9$.

При $k \gt 0$ прямая идёт через первую и третью четверти и пересекает левую ветвь; пересечение попадает в выколотую точку $\left(-\dfrac{1}{3}; -3\right)$ при $k = \dfrac{-3}{-1/3} = 9$.

Итак, прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек при $k = -9$, $k = 0$ и $k = 9$.