ID: 00011632
Постройте график функции $y=\frac{(0{,}5x^2-x) \cdot |x|}{x-2}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком ни одной общий точки.
Источник: ФИПИ
Найдём область определения: знаменатель не равен нулю, поэтому $x\ne 2$.
Разложим числитель на множители: $0{,}5x^2-x=0{,}5x(x-2)$. Тогда $y=\dfrac{0{,}5x(x-2)\,|x|}{x-2}=0{,}5x\,|x|$ при $x\ne 2$ — дробь сокращается на $(x-2)$.
Раскроем модуль. При $x\geqslant 0$: $y=0{,}5x\cdot x=0{,}5x^2$ — правая ветвь параболы вверх. При $x<0$: $y=0{,}5x\cdot(-x)=-0{,}5x^2$ — левая ветвь параболы вниз.
Точка $x=2$ не входит в область определения и выколота: в ней было бы $y=0{,}5\cdot 2^2=2$, то есть на графике «дырка» в точке $(2;\,2)$.
Функция $y=0{,}5x\,|x|$ монотонно возрастает и каждое значение принимает ровно один раз; значение $2$ достигалось бы только в выколотой точке.
Поэтому прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек лишь при $m=2$ (она проходит точно через выколотую точку).
$2$