Парабола — Задание 22 ОГЭ по математике №00011632

Найдём область определения: знаменатель не равен нулю, поэтому $x\ne 2$.

Разложим числитель на множители: $0{,}5x^2-x=0{,}5x(x-2)$. Тогда $y=\dfrac{0{,}5x(x-2)\,|x|}{x-2}=0{,}5x\,|x|$ при $x\ne 2$ — дробь сокращается на $(x-2)$.

Раскроем модуль. При $x\geqslant 0$: $y=0{,}5x\cdot x=0{,}5x^2$ — правая ветвь параболы вверх. При $x<0$: $y=0{,}5x\cdot(-x)=-0{,}5x^2$ — левая ветвь параболы вниз.

Точка $x=2$ не входит в область определения и выколота: в ней было бы $y=0{,}5\cdot 2^2=2$, то есть на графике «дырка» в точке $(2;\,2)$.

Функция $y=0{,}5x\,|x|$ монотонно возрастает и каждое значение принимает ровно один раз; значение $2$ достигалось бы только в выколотой точке.

Поэтому прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек лишь при $m=2$ (она проходит точно через выколотую точку).