ID: 00011517
В треугольнике $ABC$ биссектриса $BL$ и медиана $AM$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную $48$. Найдите стороны треугольника $ABC$.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. «биссектриса совпала с высотой» делает треугольник равнобедренным — дальше координаты.
Пусть медиана $AD$ (где $D$ — середина $BC$) и биссектриса $BE$ пересекаются в точке $P$ под прямым углом, причём $AD=BE=48$.
В треугольнике $ABD$ отрезок $BP$ — одновременно биссектриса угла $B$ и высота (так как $BP\perp AD$), значит треугольник $ABD$ равнобедренный: $BA=BD$.
Следовательно $AB=BD=\dfrac{1}{2}BC$, то есть $BC=2\cdot AB$. Точка $P$ — середина $AD$, поэтому $AP=PD=\dfrac{L}{2}=24$.
Введём координаты: $P$ в начале, $AD$ вдоль одной оси, $BE$ вдоль другой; из равенств $AD=BE=48$ и условия медианы/биссектрисы выразим стороны.
Аккуратные вычисления дают стороны треугольника: $AB=12\sqrt{13}$, $BC=24\sqrt{13}$, $AC=36\sqrt{5}$.
$12\sqrt{13}$; $24\sqrt{13}$; $36\sqrt{5}$