ID: 00011517
В треугольнике ABC биссектриса BL и медиана AM перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 48. Найдите стороны треугольника ABC.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. «биссектриса совпала с высотой» делает треугольник равнобедренным — дальше координаты.
Пусть медиана AD (где D — середина BC) и биссектриса BE пересекаются в точке P под прямым углом, причём AD=BE=48.
В треугольнике ABD отрезок BP — одновременно биссектриса угла B и высота (так как BP\perp AD), значит треугольник ABD равнобедренный: BA=BD.
Следовательно AB=BD=\dfrac{1}{2}BC, то есть BC=2\cdot AB. Точка P — середина AD, поэтому AP=PD=\dfrac{L}{2}=24.
Введём координаты: P в начале, AD вдоль одной оси, BE вдоль другой; из равенств AD=BE=48 и условия медианы/биссектрисы выразим стороны.
Аккуратные вычисления дают стороны треугольника: AB=12\sqrt{13}, BC=24\sqrt{13}, AC=36\sqrt{5}.
12\sqrt{13}; 24\sqrt{13}; 36\sqrt{5}