ID: 00011516
В трапеции $MNPK$ с основаниями $NP$ и $MK$ диагонали пересекаются в точке $F$. Докажите, что площади треугольников $MNF$ и $PKF$ равны.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. два треугольника на общем основании равны по площади; вычтем общую часть.
В трапеции $MNPK$ диагонали пересекаются в точке $F$. Рассмотрим треугольники $MNK$ и $MPK$ с общим основанием $MK$.
Эти треугольники имеют общее основание $MK$ и равные высоты (вершины $N$ и $P$ лежат на прямой $NP$, параллельной $MK$), поэтому их площади равны: $S_{MNK}=S_{MPK}$.
У этих треугольников есть общая часть — треугольник $MFK$.
Вычтем площадь общего треугольника $MFK$ из равных площадей: $S_{MNK}-S_{MFK}=S_{MPK}-S_{MFK}$.
Слева — площадь треугольника $MFN$, справа — площадь треугольника $KFP$; значит $S_{MFN}=S_{KFP}$, что и требовалось доказать.