Треугольники… — Задание 24 ОГЭ по математике №00011516

Задание №24. Геометрические задачи на доказательство

Треугольники и их элементы

№2. Задание 24

ID: 00011516

В трапеции $$MNPK$$ с основаниями $$NP$$ и $$MK$$ диагонали пересекаются в точке $$F$$ . Докажите, что площади треугольников $$MNF$$ и $$PKF$$ равны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. два треугольника на общем основании равны по площади; вычтем общую часть.

В трапеции $$MNPK$$ диагонали пересекаются в точке $$F$$ . Рассмотрим треугольники $$MNK$$ и $$MPK$$ с общим основанием $$MK$$ .

Эти треугольники имеют общее основание $$MK$$ и равные высоты (вершины $$N$$ и $$P$$ лежат на прямой $$NP$$ , параллельной $$MK$$ ), поэтому их площади равны: $S_{MNK}=S_{MPK}$ .

У этих треугольников есть общая часть — треугольник $$MFK$$ .

Вычтем площадь общего треугольника $$MFK$$ из равных площадей: $S_{MNK}-S_{MFK}=S_{MPK}-S_{MFK}$ .

Слева — площадь треугольника $$MFN$$ , справа — площадь треугольника $$KFP$$ ; значит $S_{MFN}=S_{KFP}$ , что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано:

S_{MNF}=S_{PKF}

— треугольники

$MNK$

$MPK$

равновелики (общее основание

$MK$

, равные высоты), вычитание общего треугольника

$MFK$

даёт равенство

Видеоразбор

Другие задания по теме «Треугольники и их элементы» (8)