Задание 24 ОГЭ по математике: В трапеции MNPK с основаниями NP и MK диагонали пересекаются в…

№2. Задание 24

ID: 00011516

В трапеции $MNPK$ с основаниями $NP$ и $MK$ диагонали пересекаются в точке $F$ . Докажите, что площади треугольников $MNF$ и $PKF$ равны.

Источник: ФИПИ

Решение

💡 Идея. два треугольника на общем основании равны по площади; вычтем общую часть.

В трапеции $MNPK$ диагонали пересекаются в точке $F$ . Рассмотрим треугольники $MNK$ и $MPK$ с общим основанием $MK$ .

Эти треугольники имеют общее основание $MK$ и равные высоты (вершины $N$ и $P$ лежат на прямой $NP$ , параллельной $MK$ ), поэтому их площади равны: $S_{MNK}=S_{MPK}$ .

У этих треугольников есть общая часть — треугольник $MFK$ .

Вычтем площадь общего треугольника $MFK$ из равных площадей: $S_{MNK}-S_{MFK}=S_{MPK}-S_{MFK}$ .

Слева — площадь треугольника $MFN$ , справа — площадь треугольника $KFP$ ; значит $S_{MFN}=S_{KFP}$ , что и требовалось доказать.