ID: 00009860
Боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно $10$ и $26$, а основание $BC$ равно $1$. Биссектриса угла $ADC$ проходит через середину стороны $AB$. Найдите площадь трапеции.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. биссектриса через середину боковой стороны рождает равнобедренный треугольник, и высота находится.
Пусть $M$ — середина боковой стороны $AB$, через неё проходит биссектриса угла $ADC$. Продлим биссектрису $DM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $N$.
Так как $BC\parallel AD$, накрест лежащие углы дают $\angle ADN=\angle DNB$; а $\angle ADN=\angle NDC$ (биссектриса), поэтому треугольник, отсекаемый биссектрисой, равнобедренный.
Из равенства треугольников по стороне $AM=MB$ и накрест лежащим углам получаем связь между основанием $AD$, боковыми сторонами $AB=10$, $CD=26$ и основанием $BC=1$.
Опуская высоту и используя боковые стороны $AB=10$, $CD=26$, находим высоту трапеции и большее основание $AD$.
Площадь трапеции равна $S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot h=130$.
$130$