ID: 00009857
Постройте график функции $y = \dfrac{(x^2+1)(x-2)}{2-x}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Источник: ФИПИ
Сократим: $\dfrac{x-2}{2-x}=-1$, поэтому $y=-(x^2+1)=-x^2-1$ при $x\ne 2$.
График — парабола ветвями вниз с вершиной $(0;-1)$ и выколотой точкой при $x=2$, где $y=-5$.
Прямая $y=kx$ касается параболы, когда $x^2+kx+1=0$ имеет один корень: $k^2=4$, $k=\pm 2$.
Через выколотую точку $(2;-5)$ проходит прямая с $k=-2{,}5$, что тоже даёт одну точку. Итого $k=-2{,}5,\ -2,\ 2$.
$-2,5; -2; 2$