ID: 00009809
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно $34$ и $14$, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD$, если $AB = 12$.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. сумма углов $90^\circ$ распрямляет боковые стороны; дальше работаем с касательной к окружности.
Сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, поэтому если продолжить боковые стороны до пересечения, они образуют прямой угол; отрезок между серединами оснований равен полуразности оснований $\dfrac{AD-BC}{2}=\dfrac{34-14}{2}=10$.
Окружность проходит через $A$ и $B$ и касается прямой $CD$; её радиус найдём, опираясь на касание (степень точки/касательная) и на найденную полуразность оснований.
Проведя расчёт через касательную к окружности и прямоугольный треугольник со стороной $AB=12$ и полуразностью оснований $10$, получаем радиус окружности.
Искомый радиус равен $$14,4$$.
$$14,4$$